พักนี้สะเพร่าบ่อย ขอโทษทีครับคุณ pol จริงๆมันก็ไม่ใช่ vieta jumping เต็มๆหรอกครับ
แค่มีส่วนที่คล้ายบ้างคือ การวิเคราะห์รากกับ contradiction ของสมการกำลังสอง
ลองดูความเห็นแรกครับ
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h94p262
ถ้าไม่มี contradiction ที่ minimality ของรากคงบอกว่าเป็น vieta ไม่ได้เต็มปากแน่ๆ
ผมเองมามองเห็นรากมี contradiction เลยคิดว่าเป็น vieta ครบสูตร
--------------------------------------------------------
ขอโทษทีที่ทำคุณจูกัดเหลียงสับสนครับ เรารู้ว่า $\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1} \in \mathbb{N}$
เพราะฉะนั้น $2ab^2-b^3+1 > 0$ และ $a^2 \geq 2ab^2-b^3+1$
อสมการ
$2ab^2-b^3+1$ >
$b^4-b-2a$ ที่เราพยายามพิสูจน์
เรารู้ว่าสีแดงเป็นบวก ต้องได้สีเขียวถ้าไม่เป็นศูนย์ต้องเป็นลบครับ
คู่กับข้อมูลชิ้นนี้ $b^4-b-2a \equiv 0 \pmod{2ab^2-b^3+1}$
มันจะ force ว่า $b^4-b-2a=0$ ตามที่เข้าใจครับ (สรุป $(a,b)$ ได้คำตอบนึง)
และยังมีกรณีที่ $b^4-b-2a < 0$ ด้วยครับ (ตรงนี้จะสรุปได้อีกคำตอบ)
กรณีล่าง เรามองเป็นจำนวนเต็มบวก $-(b^4-b-2a)$ และจากการที่มันมี $2ab^2-b^3+1$ เป็นตัวประกอบ
ทำให้ $\frac{-(b^4-b-2a)}{2ab^2-b^3+1} \in \mathbb{N}$ ดังนั้น $2ab^2-b^3+1 \leq -(b^4-b-2a)$ จัดเป็น $2a(1-b^2) \geq (b-1)^2(b^2+b+1)$
วิเคราะห์ซ้ายขวาของอสมการจะ force ว่า $b=1$ ครับ
----------------------------------------------------------
เดี๋ยวผมพิสูจน์ $a>b^2$ ให้ดู จาก $a^2 \geq 2ab^2-b^3+1$
จัดเป็น $a^2 \geq (2a-b)b^2+1> ab^2+1 > ab^2$ อสมการตรงกลางเป็นผลมาจาก $a>b$
ซึ่งก่อนหน้าการพิสูจน์ $a>b^2$ ต้องพิสูจน์ว่า $a>b$ ก่อนครับ ถึงเอามาใช้ได้
พิสูจน์เสร็จแล้วก็มี $a>b^2$ ไว้ใช้พิสูจน์ $2ab^2-b^3+1 > b^4-b-2a$
แค่นี้ข้อมูลทุกชิ้นก็ต่อเป็น solution ได้แล้วครับ
-----------------------------------------------------------
note เพิ่ม vieta jumping เป็นเทคนิกที่ไม่ต้องเน้นมากสำหรับ IMO ครับ
แนวนั้นเขาไม่เล่นกันแล้วครับ ยังมีเทคนิกทางทฤษฎีจำนวนอีกมากที่น่าสนใจ
Zsigmondy's theorem
Hensel's Lemma
Lifting Exponent
Primitive Root
Order+congruence
พวกนี้รวมทั้ง vieta jumping จะช่วยให้เรามีอุปกรณ์แก้โจทย์มากขึ้น
แต่มันไม่มีหลักประกันว่าเจอข้อสอบ IMO ใหม่ๆแล้วจะเอาอยู่
ข้อสอบ IMO สมัยนี้ทำแค่ข้อสอบปีเก่าๆไปไม่พอแล้วครับ
ข้อสอบยากขึ้นกว่าเมื่อปีก่อนๆพอสมควร
