$b$ เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม $d$
$b_m=b_1+(m-1)d$
$[n=m+1]$
$b_1=b_m-(n-2)d$
$a_2=a_1+b_1$
$a_3=a_1+b_1+b_2$
$a_n=a_1+[b_1+b_2+...+b_m]=a_1+\frac{m}{2} (b_1+b_m)$
$=a_1+\frac{n-1}{2} (b_1+[b_1+(m-1)d])$
$=a_1+\frac{n-1}{2} (b_1+[b_1+(n-2)d])$
$=a_1+\frac{n-1}{2} (2b_1+(n-2)d])$
$=a_1+(n-1)b_1+\frac{(n-1)(n-2)}{2}d$
$=a_1+\binom{n-1}{1}b_1+ \binom{n-1}{2}d$
$[\because d_1=b_1,d_2=d]$
$=a_1+\binom{n-1}{1}d_1+ \binom{n-1}{2}d_2$
|