[prachya]

$$ 0 < \frac{[x]}{[x]} \leq 1 $$
$$ 0 < \frac{[x]-1}{[x]} \leq 1 $$
$$ 0 < \frac{[x]-2}{[x]} \leq 1 $$
$$..........$$
$$ 0 < \frac{2}{[x]} \leq 1 $$
$$ 0 < \frac{1}{[x]} \leq \frac{1}{[x]} $$
คูณอสมการ จะได้
$$ 0 < \frac{[x]!}{[x]^{[x]}} \leq \frac{1}{[x]} $$

เนื่องจาก
$$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{[x]} =0 $$
จากทฤษฎีการบีบ จึงได้
$$ \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{[x]!}{[x]^{[x]}} = 0 $$

พิจารณา
$$ -1 \leq sin x \leq 1 $$
$$ 4 \leq (cos x)+5 \leq 6 $$
ดังนั้น
$$ -6 \leq (sin x)[(cos x) +5] \leq 6 $$
$$ -6 \frac{[x]!}{[x]^{[x]}} \leq (sin x)[(cos x)+5] \frac{[x]!}{[x]^{[x]}} \leq 6 \frac{[x]!}{[x]^{[x]}} $$
บีบจะได้
$$ \lim_{x\rightarrow \infty} (sin x)[(cos x)+5] \frac{[x]!}{[x]^{[x]}} = 0 $$