คำถามนี้บกพร่องครับ เพราะถ้าไม่กำหนดข้อบังคับเช่นว่า เดินได้เฉพาะทิศตะวันออกและทิศเหนือเท่านั้น จำนวนวิธีการเดินก็จะมีจำนวนนับไม่ถ้วนครับ
โจทย์ประเภทนี้เป็นโจทย์พื้นฐานสำหรับเด็กสายสอบแข่งระดับประถมศึกษาพวก EMIC, IMSO, PO-Leungkuk
จำนวนวิธีจะเท่ากับจำนวนการสลับที่อักษรซ้ำ NNNEEE ทั้งหมดเป็นเส้นตรง เช่น
NNNEEE หมายถึง เดินไปเหนือ 3 ช่อง แล้วไปทิศตะวันออก 3 ช่อง
NNEEEN หมายถึง เดินไปเหนือ 2 ช่อง แล้วไปทิศตะวันออก 3 ช่อง แล้วไปทิศเหนือ 1 ช่อง
ถ้าจะให้นักเรียนประถมแจกแจงโดยจุดหลักอยู่ที่ให้ทำความเข้าใจว่าจำนวนเส้นทางทั้งหมดจะสมมูลกับจำนวนวิธีในการสลับที่อักษรซ้ำ NNNEEE ทั้งหมด ก็ควรจะลดรูปขนาดลงจะดีกว่าครับ เช่น เหลือขนาด 2 x 2 หรืออย่างมากก็ 3 x 2
ซึ่งที่จริงแล้ววิธีที่สอนเด็กประถมสายสอบแข่งทั่วไป ก็คือการสอนให้เขียนผลรวมของจำนวนวิธีไปเรื่อย ๆ โดยเริ่มจากจุดเริ่มต้น A ไปจนจุด B
จากรูป ในการเดินทางไปจุด C นั้นจะต้องมาจากทิศใต้คือจุด A เท่านั้นเป็นไปได้ 1 วิธี ดังนั้นเติม 1 ตรงจุด C
ในทำนองเดียวกัน ในการเดินทางไปจุด D นั้นจะต้องมาจากทิศตะวันออกคือจุด A เท่านั้นเป็นไปได้ 1 วิธี ดังนั้นเติม 1 ตรงจุด D
สำหรับจุด E จะสามารถเดินมาได้ 2 ทิศ(
กรณี) คือจากทิศตะวันตก (จุด C)
หรือ มาจากทิศใต้ (จุด D) ดังนั้นในการเดินทางมาจุด E จะเดินมาได้ 1 + 1 = 2
สำหรับตัวเลขอื่น ๆ ที่เหลือก็เติมในทำนองเดียวกัน
ที่จริงแล้วเป็นการใช้เอกลักษณ์ของปาสกาลอย่างหนึ่งนั่นเอง $\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r} + \binom{n-1}{r-1} $
ถ้าเข้าใจแล้ว ฝากการบ้านลองคิดต่อนะครับ ลองฝึกเขียนผลรวมดู
อ้างอิง:
ในการเดินทางจากจุด A ไปยัง B โดยเดินได้เฉพาะทิศเหนือและทิศตะวันออกเท่านั้น จงหาจำนวนวิธีในการเดินทางทั้งหมดโดยที่
ก. จาก A ไป B โดยต้องผ่านจุด E
ก. จาก A ไป B โดยไม่ผ่านจุด E
|