[passer-by]

ตาลายอย่างแรง สำหรับข้อ 5 ตอน 1

เขาถามหาสี่เหลี่ยมมุมฉาก ดันไปหาสามเหลี่ยมุมฉากซะนี่เรา (ขอบคุณคุณ nongtum มากครับ)

ส่วนข้อ 5 ตอนที่ 2 ผมว่า รูปที่คุณ nongtum วาดมันขัดแย้งกันเองนะครับ

กราฟของ |x+y|=2549 ต้องเป็นเส้นตรง 2 เส้นขนานกัน แต่ที่คุณ nongtum วาด คือ

|x|+ |y|= 2549 กับ |x|- |y| = k นะครับ


แล้วก็กลับมาตามสัญญา สำหรับข้อ 1 ตอนที่ 2

สิ่งที่ต้องการ คือ หา n น้อยสุดที่มากกว่า 1 ที่ทำให้ $ \frac{(n+1)(2n+1)}{6} $ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

Let $ \frac{(n+1)(2n+1)}{6} = m^{2} $ สำหรับบาง m

ยำสมการใหม่ จนได้ $ (4n+3)^{2}-48m^{2}=1 $ .....(*)

หรือเทียบเท่ากับ $ x^{2}-48y^{2}=1 $ ซึ่งเป็น Pell's equation ที่มี fundamental solution เป็น (7,1) และมีคำตอบ (x_p,y_p ) มากมายที่หาได้จาก

$ x_{p}+y_{p}\sqrt{48}= ( 7+\sqrt{48})^{p} , p \geq 2 $

เราพบว่าค่า x_p น้อยสุดที่สอดคล้องกับ (*) คือ 1351 (p=3) โดยจะให้ค่า n= 337

ดังนั้น ข้อนี้ตอบ 337

แถมอีกข้อนะครับ คือข้อ 35 ตอนที่ 2

เพราะ OE , PE แบ่งครึ่งมุม AEF, BEF ตามลำดับ ดังนั้นสามเหลี่ยม OEP เป็นสามเหลี่ยมุมฉาก

ให้ EF สัมผัสวงกลมทั้งคู่ที่ N ดังนั้น สามเหลี่ยม OEN คล้ายกับสามเหลี่ยม PEN ส่งผลให้ EN² = Rr

แต่ AE=EB=EN ดังนั้น AB+CD+EF = 2(3ึRr) =6ึRr

(2 ที่คูณเข้าไปมาจาก สมมาตรของด้านบนกับด้านล่าง ครับ)