[devil jr.]

14. ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวกสามจำนวนที่แตกต่างกัน จงแสดงว่า...

สมมติให้ a>b>c

พิจารณา f(x) = (ln(x)-ln(b))/(x-b) เมื่อ b เป็นค่าคงที่
f'(x)= (-ln(x)+ln(b)+1-b/x)/(x-b)^2

เนื่องจาก ln(x/b)+b/x > 1 ทุก xนb
ดังนั้น -ln(x)+ln(b)+1-b/x<0
=> f'(x)<0 ทุก xนb

เนื่องจาก a>cได้ว่า

(ln(a)-ln(b))/(a-b) < (ln(c)-ln(b))/(c-b)

จัดรูปใหม่ได้

(b-c)ln(a) + (c-a)ln(b) + (a-b)ln(c) <0
หารด้วย (a-b)(a-c)(b-c) จะได้ตามโจทย์