โจทย์เริ่อง อนุกรมผสม

[jabza]

1.จงหาค่า n จากอนุกรม n = 4 ^ 1/4 * 4 ^1/8 * 4 ^1/24 * 4 ^1/48 * .............*ฅ


ปล.ผมไม่รู้ว่าเป็นอนุกรมอะไร ช่วยบอกทีครับ และหาค่าnได้เท่าไหร่ครับ โจทย์ง่ายๆไม่เคยเจอ

[gon]

ถ้าโจทย์ที่เขียนเป็นแบบนี้ คือ
$4^{\frac{1}{4}}4^{\frac{1}{8}}4^{\frac{1}{24}}4^{\frac{1}{48}}\cdots$

จะได้ $4^{\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24} + \frac{1}{48}+ \cdots} $

พิจารณา $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24} + \frac{1}{48}+ \cdots = \frac{1}{4}(\frac{1}{1} +\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}+ \frac{1}{20}\cdots)$

$=\frac{1}{4}(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{(2)(3)} + \frac{1}{(3)(4)}+ \frac{1}{(4)(5)}\cdots)$
$= \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \cdots)$
$= \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

ดังนั้น $n = 4^{\frac{1}{2}} = (2^2)^{\frac{1}{2}} = 2$

[nongtum]

อะแฮ่มๆ ทดสอบความเข้าใจของเจ้าของกระทู้หน่อยครับ

จงแสดงว่า $$\large27^{\frac{1}{18}}\cdot27^{\frac{1}{54}}\cdot27^{\frac{1}{108}}\cdot27^{\frac{1}{180}}\cdot\dots=3^{\frac13}$$

Edit1: แก้โจทย์ ลบคำไม่เหมาะสม

[jabza]

ขอขอบคุณ พี่GON มากๆๆผมเข้าใจดีแล้วครับ เฉลยละเอียดดีมากเลยครับ

ขอตอบคำถามพี่nongtum ก่อนละกัน พี่ลองภูมิผมหรือครับ

เฉลยเลยนะครับ เอาเลขยกกำลังมาบวกกัน ถึงฅ

1/18 + 1/54 + 1/108 + 1/180 +............. ..............................
= 1/9 ( 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + ..........)
= 1/9 * ( 1/ 1*2 + 1/ 2*3 + 1/3*4 + 1/4*5 +........)
= 1/9 *( 1/2 + 1/2 - 1/3 +1/3 -1/4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 +..... .........)
= 1/9 ( 1/2 + 1/2) = 1/9

\ (3 ^3) ^1/9 = 3 ^ 1/3


ปล. ผมว่างแล้วผมจะหัดเรียนLatexนะครับ ตอนนี้การบ้านเยอะสุดๆ

[nongtum]

ที่ทำมาด้านบนถูกแล้วล่ะ แนะนำว่าเวลาจะเขียน $\frac{1}{a\cdot{}b}$ โดยไม่ใช้ TeX อย่าลืมวงเล็บที่เทอมตัวส่วน ไม่งั้นตัวที่คูณด้านหลังจะกลายเป็นตัวคูณของเศษส่วนตัวแรก นั่นคือ
$1/a*b=\frac1a\times b\ne\frac{1}{ab}=1/(a*b)$ และก็เวลาจะเขียนจุด ใช้สามจุดเท่านั้นก็พอครับ

ไม่ปฏิเสธครับว่าจะลองภูมิ แต่ปกติเวลาพี่ตอบคำถามน้องแล้วน้องตอบว่าเข้าใจมากๆประจำ พี่เลยสงสัยเท่านั้นแหละว่าตกลงเข้าใจจริงไหม หวังว่าน้องคงไม่เข้าใจพี่ผิดนะครับ