ช่วยดูหน่อยว่าผมผิดตรงไหนครับ หรือว่า สทศ เฉลยผิดอ่ะ

[ท่านขลุ่ยผุไร้สำเนียง]

\not= PAT 1 - ข้อ 2

กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ U = {{1,2} , {1,3} , {2,3}}
ข้อใดต่อไปนี้ถูก (จริง ๆ น่าจะถามว่าข้อใดมีค่าความจริง เป็นจริงหรือเป็นเท็จมากกว่า ใช่เปล่าครับ)
1. $\forall x\forall y[x\cap y\not= \varnothing ]$
2. $\forall x\forall y[x\cup y=U]$
3. $\forall x\exists y[y \not= x \bigwedge y\subset x]$
4. $\exists x\forall y[y \not= x \bigwedge y\subset x]$

ผมทดลองคิดนะครับ
จาก U = {{1,2} , {1,3} , {2,3}}
จะได้ว่า x = {{1,2} , {1,3} , {2,3}}
y = {{1,2} , {1,3} , {2,3}}

ถ้า $x \cap y $ = {{1,2} , {1,3} , {2,3}} ซึ่งมันก็ไม่เท่ากับ $\varnothing $ ดังนั้น ข้อ 1 น่าจะถูก

$x \cup y $ = {{1,2} , {1,3} , {2,3}} ซึ่งก็เท่ากับ U แสดงว่าข้อ 2 ก็น่าจะถูกอ่ะ

$\forall x\exists y[x \not= y ]$
$\forall x$ ให้ x = {{1,2} , {1,3} , {2,3}}
$\exists y$ ให้ y = {{1,3} , {2,3}} ซึ่ง $y \not= x$ แล้วจะได้ว่า $y \subset x$ ข้อนี้ก็ถูกต้องนี่ครับ

$\exists x\forall y[y\not= x]$
$\exists x$ ให้ x = {{1,3} , {2,3}}
$\forall y$ ให้ y = {{1,2} , {1,3} , {2,3}} ซึ่ง $y \not= x$ แล้วจะได้ว่า $y \subset x$ ข้อนี้ผิด

มีข้อเดียวที่ผมคิดว่า ผิด นอกนั้น ถูกหมด แต่ สทศ เฉลยว่าตอบข้อ 1 ผมงงเลยอ่ะ แล้วคิดยังงัย ขอความกรุณาด้วยนะครับ ช่วยให้ผมกระจ่างทีครับ

[LightLucifer]

เท่าที่ผมคิดข้อ 1 มันถูกอยู่ข้อเดียว มั้ง

[ท่านขลุ่ยผุไร้สำเนียง]

คือผมอยากทราบว่า แล้ว ข้อ 2 , 3 , 4 นี่ผิดตรงไหนครับ แล้วที่ผมเขียนวิธีคิดนั่น ผมผิดตรงไหนหรือเปล่าคับ หรือมันไปคนละทางเลยหรือเปล่าครับที่ผมคิด

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ท่านขลุ่ยผุไร้สำเนียง

คือผมอยากทราบว่า แล้ว ข้อ 2 , 3 , 4 นี่ผิดตรงไหนครับ แล้วที่ผมเขียนวิธีคิดนั่น ผมผิดตรงไหนหรือเปล่าคับ หรือมันไปคนละทางเลยหรือเปล่าครับที่ผมคิด

คืออยากจะบอกว่าที่คุณอธิบายนั้นมันคนละทางเลยครับ แม้แต่ข้อ 1 ที่อธิบายก็ผิดครับ แต่บังเอิญคำตอบถูกครับ ผมว่าลองทบทวนเรื่องนี้ดูอีกครั้งครับน่าจะเข้าใจขึ้นครับ
ผมอธิบายข้อ 1 ที่ถูกให้ดูเป็นตัวอย่างก็แล้วกัน

แนวคิด
จากโจทย์ ทำให้รู้ว่า $x = ${1,2},{1,3},{2,3} และ $y=$ {1,2},{1,3},{2,3}
ดังนั้นจากประโยคที่โจทย์ให้หา for all x for all y ทำให้ต้องหาทุกกรณีซึ่งมีทั้งหมด 9 กรณี ดังนี้คือ $(x\cap y)$
กรณีที่ 1 {1,2} $\cap $ {1,2} = {1,2} ซึ่งไม่ใช่ เซตว่าง
กรณีที่ 2 {1,2} $\cap $ {1,3} = {1} ซึ่งไม่ใช่ เซตว่าง
กรณีที่ 3 {1,2} $\cap $ {2,3} = {2} ซึ่งไม่ใช่ เซตว่าง
กรณีที่ 4 {1,3} $\cap $ {1,2} = {1} ซึ่งไม่ใช่ เซตว่าง
กรณีที่ 5 {1,3} $\cap $ {1,3} = {1,3} ซึ่งไม่ใช่ เซตว่าง
กรณีที่ 6 {1,3} $\cap $ {2,3} = {3} ซึ่งไม่ใช่ เซตว่าง
กรณีที่ 7 {2,3} $\cap $ {1,2} = {2} ซึ่งไม่ใช่ เซตว่าง
กรณีที่ 8 {2,3} $\cap $ {1,3} = {3} ซึ่งไม่ใช่ เซตว่าง
กรณีที่ 9 {2,3} $\cap $ {2,3} = {2,3} ซึ่งไม่ใช่ เซตว่าง
สรุป จะเห็นว่าทุกกรณีไม่ใช่เซตว่างเลย จึงสรุปได้ว่าข้อนี้ถูก
การจะทำโจทย์ข้อนี้ได้ต้องเข้าใจความหมายของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณว่าหมายความว่าอย่างไร ส่วนข้ออื่นที่ผิดลองดูครับว่าทำไมถึงผิด

[ท่านขลุ่ยผุไร้สำเนียง]

ขอบคุณมากครับ ที่ช่วยให้ผมเข้าใจมากขึ้นครับ

[ท่านขลุ่ยผุไร้สำเนียง]

ขอต่ออีกนิดนะครับ ว่าผมเข้าใจถูกหรือยัง ตัวเลือกที่สอง
จากโจทย์ ทำให้รู้ว่า x={1,2},{1,3},{2,3} และ y= {1,2},{1,3},{2,3}
ดังนั้นจากตัวเลือกที่สองประโยคที่โจทย์ให้หา $\forall x\forall y$ ทำให้ต้องหาทุกกรณีซึ่งมีทั้งหมด 9 กรณี เหมือนกัน (ใช่หรือเปล่าครับ) ดังนี้คือ $(x \cup y) $
กรณีที่ 1 {1,2} $\cup$ {1,2} = {1,2} ซึ่งเท่ากับ U
กรณีที่ 2 {1,2} $\cup$ {1,3} = {1,2,3} ซึ่งไม่เท่ากับ U
กรณีที่ 3 {1,2} $\cup$ {2,3} = {1,2,3} ซึ่งไม่เท่ากับ U
กรณีที่ 4 {1,3} $\cup$ {1,2} = {1,2,3} ซึ่งไม่เท่ากับ U
กรณีที่ 5 {1,3} $\cup$ {1,3} = {1,3} ซึ่งเท่ากับ U
กรณีที่ 6 {1,3} $\cup$ {2,3} = {1,2,3} ซึ่งไม่เท่ากับ U
กรณีที่ 7 {2,3} $\cup$ {1,2} = {1,2,3} ซึ่งไม่เท่ากับ U
กรณีที่ 8 {2,3} $\cup$ {1,3} = {1,2,3} ซึ่งไม่เท่ากับ U
กรณีที่ 9 {2,3} $\cup$ {2,3} = {2,3} ซึ่งเท่ากับ U
สรุป จะเห็นว่ามีเท่ากับ แค่ 3 กรณี ดังนั้นตัวเลือกนี้จึงไม่ถูก
ผมเข้าใจถูกหรือเปล่า ถ้าผิดขอความกรุณาช่วยอธิบายหน่อยนะครับ เพราะผมอ่านในหนังสือ ไม่รู้เรื่อง และไม่มีตัวอย่างแบบนี้ครับ

[ท่านขลุ่ยผุไร้สำเนียง]

ส่วนตัวเลือกที่สาม $∀x∃y[y\not= x ⋀ y⊂x]$

จากโจทย์ x={1,2},{1,3},{2,3} และ y= {1,2},{1,3},{2,3}
ดังนั้นจากตัวเลือกที่สองประโยคที่โจทย์ให้หา ∀x∃y ซึ่งมีทั้งหมด 6 กรณี (ใช่หรือเปล่าครับ) ดังนี้คือ

กรณีที่ 1 {1,2} $\not=$ {1,3} ซึ่ง y $\not\subset$ x
กรณีที่ 2 {1,2} $\not=$ {2,3} ซึ่ง y $\not\subset$ x
กรณีที่ 3 {1,3} $\not=$ {1,2} ซึ่ง y $\not\subset$ x
กรณีที่ 4 {1,3} $\not=$ {2,3} ซึ่ง y $\not\subset$ x
กรณีที่ 5 {2,3} $\not=$ {1,2} ซึ่ง y $\not\subset$ x
กรณีที่ 6 {2,3} $\not=$ {1,3} ซึ่ง y $\not\subset$ x
สรุป ดังนั้นข้อนี้จึงไม่ถูกต้อง

แบบนี้ถูกหรือเปล่าครับ ผมคิดตามความเข้าใจนะครับ

[หยินหยาง]

ตอบ ตัวเลือกที่สอง ไม่มีกรณีไหน เป็น ยูนิเวอร์ส เลยครับ เพราะ $x \cup y$ เป็นเซตของจำนวน คือ {1,2}, {1,3},
{2,3} หรือ {1,2,3}ส่วนยูนิเวอร์ส เป็น เซตที่มีสมาชิกเป็นเซต คือ U = {{1,2} , {1,3} , {2,3}}

ตอบ ตัวเลือกที่สาม ข้อนี้จริงๆ ไม่ต้องพิจารณาตัวบ่งปริมาณก็ได้ เพราะ ไม่มีทางที่ $y\not= x$ แล้วจะทำให้ $y⊂x$ ได้
(ยกเว้น y เป็น เซตว่าง)

หวังว่าคงช่วยให้เข้าใจได้นะครับ

[ท่านขลุ่ยผุไร้สำเนียง]

ขอบคุณมากครับ