|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Congruence in POSN book
ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะและ $h+k=p-1$ เมื่อ $h,k \geqslant 0$ พิสูจน์
$$h!k!+(-1)^h \equiv 0 \pmod{p}$$ ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงพิสูจน์ว่า $(p-1)!+1 = p^k$ สำหรับ บางจำนวนเต็ม $k$ ก็ต่อเมื่อ $p=2,3,5$
__________________
Fighting for Eng.CU
|
#2
|
||||
|
||||
ข้อแรกเป็นจริงเฉพาะจำนวนเฉพาะคี่นะครับ
พิสูจน์โดยการเปลี่ยน $k=p-1-h$ แล้วกระจายแฟคทอเรียลออกมาก็จบแล้วครับ ส่วนข้อสองก็เริ่มจากพิสูจน์ว่า $p=2,3,5$ ใช้ได้ ต่อไปสมมติว่ามีจำนวนเฉพาะ $p \ge 7$ ที่ทำให้มีจำนวนนับ $k$ ซึ่งสอดคล้องสมการ ชัดเจนว่า $(p-1)!+1>p$ แสดงว่า ถ้ามีจำนวนนับ $k$ ดังกล่าวแล้ว $k \ge 2$ จากนั้นก็พิจารณาคอนกรูเอนซ์ $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p^2}$ และก็ใช้ Inverse Modulo แก้นิดหน่อย $a$ จะมี inverse modulo $n$ iff $(a,n)=1$ แล้ววิธีทำก็เหมือนกับการพิสูจน์ Wilson's Theorem ทุกประการ (โดยใช้ inverse) เพื่อหาข้อขัดแย้ง
__________________
keep your way.
|
#3
|
||||
|
||||
วันนี้เพิ่งเปิดไปเจอเฉลยแบบธรรมดา เลยมาเฉลยให้ เพราะน่าจะเข้าใจง่ายกว่าแบบ inverse
อ้างอิง:
$(\Rightarrow )$ สมมติว่ามีจำนวนเฉพาะ $p>5$ ที่ทำให้มีจำนวนนับ $k$ ซึ่งสอดคล้องสมการดังกล่าว ดังนั้น $(p-1)!=p^k-1$ $(p-2)!=p^{k-1}+p^{k-2}+\cdots+1$ $(p-2)!=(p^{k-1}-1)+(p^{k-2}-1)+\cdots+(p-1)+k$ $\therefore (p-2)! \equiv k \pmod{p-1}$ เนื่องจาก $p$ เป็นจำนวนเฉพาะคี่ แสดงว่ามีบางจำนวนนับ $m$ ซึ่ง $p-1=2m$ ชัดเจนว่า $2 \cdot m|(p-2)!$ และ $2 \cdot m|(p-1)$ ดังนั้น $2m|k$ หรือก็คือ $(p-1)|k$ เช่นกัน พิจารณาสมการเดิม, $(p-1)(p-2) \cdots (3)(2)(1) = \underbrace{p \cdot p \cdots p}_{k} -1$ ชัดเจนว่าเป็นไปไม่ได้ที่ $k \ge p=1$ ไม่เช่นนั้นจะทำให้ $p^{k}-1>(p-1)(p-2)\cdots(3)(2)(1)$ สำหรับทุก $p>5$ ดังนั้น $k<p-1$ ขัดแย้งกับที่ $(p-1)|k$
__________________
keep your way.
|
#4
|
||||
|
||||
อินเวอสมอดุโลอ่านจากไหนหรอครับ
|
#5
|
||||
|
||||
ลองดูในนี้เป็นแนวเอาครับ (จริงๆสามารถขยายไปยังมอดุโลที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะก็ได้ครับ)
Inverse modulo ถ้าขยายไปยังมอดุโลจำนวนนับ $n$ ใดๆแล้ว $a$ จะมี inverse modulo $n$ ได้ก็ต่อเมื่อ $(a,n)=1$
__________________
keep your way.
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
pat vs. posn | ~ToucHUp~ | ฟรีสไตล์ | 4 | 24 กรกฎาคม 2011 15:25 |
ขอ : ข้อสอบ Posn Computer | คusักคณิm | ฟรีสไตล์ | 4 | 06 สิงหาคม 2010 20:58 |
Marathon [ Pre-POSN ; M.1-3 ] | Siren-Of-Step | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น | 61 | 20 มิถุนายน 2010 20:01 |
POSN ^_______^ | Siren-Of-Step | ฟรีสไตล์ | 3 | 11 เมษายน 2010 15:37 |
ข้อสอบ 4th TMO ณ ร.ร.เตรียมทหาร | Mathophile | ข้อสอบโอลิมปิก | 20 | 14 มิถุนายน 2007 19:18 |
|
|