การหาสูตร ผลบวก อนุกรม

[meteor]

อยากทราบครับว่า เรามีวิธี อย่างไรบ้าง ในการ หาสูตร ของ
1n + 2n +3n +.....+nn ครับ แล้ว จะมีวิธี หา ค่า n ณ ใด บ้าง ที่ทํา ให้ ผลบวกทั้งหมด นี้ เป็น จํานวนเฉพาะ และ วิธี ในการ ครับ ( และ อยากถามครับว่า จากที่ผม อ่านบอร์ดมา ครับ และ พบวิธีต่างๆ ซึ่ง ผมไม่รู้จักครับ อยากถามครับว่า เป็น เนื้อหา ของ มหาวิทยาลัย ปีไหนครับ และ สามารถ หา อ่านได้โดยทั่วไป ได้ไหมครับ เช่น linear recurrence equation ) สุดท้ายนี้ ต้องขอขอบคุณ พี่ ๆ ทุกคน ด้วยครับ ขอบคุณมากครับ

[M@gpie]

พิจารณากรณีที่ n เป็นจำนวนเต็ม
1n+2n+3n+...+nn
=n(1+2+...+n)
=n(n)(n+1)/2
=n²(n+1)/2
จะเห็นว่า 1n+2n+3n+...+nn = n²(n+1)/2
ลองแทนค่า n ไปเรื่อยๆดูว่าเป็นจำนวนเฉพาะรึเปล่า?ก็น่าจะได้ทำได้คับ

ส่วน linear recurrence equation
หาอ่านได้ทั่วไปใน Discrete Mathematics คับ
หรือพวก Advance Engineering mathematics ทั่วไปก็มีคับ หัวข้อ
Difference Equation มีสอนวิธีแก้อย่างเดียว

[meteor]

ต้องขอโทษ ด้วยนะครับ คือ โจทย์ ผิดนะครับ ต้องเปลี่ยนเป็น
1^n + 2^n + 3^n+.....+n^n ครับ ผม

[warut]

โจทย์ดีน่าสนใจมากครับ แต่ผมทำไม่ได้หรอก ว่าแต่เอาโจทย์มาจากไหนครับ

[M@gpie]

ลองอ่านในเสริมประสบการณ์เรื่อง จำนวนเบอร์นูลลี ดูสิคับ อาจจะได้คำตอบที่พอใจ

[warut]

ยังคิดไม่ออกเลย

[gon]

รูปปิดง่าย ๆ ของสูตรที่น้องต้องการมันไม่มีครับ. แต่มันจะสามารถตอบในรูปของของ จำนวนเบอร์นูลลี คูณกับ n ยกกำลังต่าง ๆ ได้ ซึ่งหลักการหนึ่งในหาจำนวนเบอร์นูลลีนั้น สามารถใช้เทคนิคง่าย ๆ ในรูปของผลต่าง คือ ถ้า S_n = 1^m + 2^m + ... + n^m
แล้ว S_{n + 1} = 1^m + 2^m + ... + n^m + (n + 1)^m

ดังนั้น S_{n + 1} - S_n = (n + 1)^m ... (1)

จากนั้นก็ตั้งข้อสังเกตว่า สูตรของ Sn^m จะได้พหุนามที่มีกำลังสูงสุดเป็น m + 1 จึงสมมติให้รูปทั่วเป็น พหุนามกำลัง m + 1 แล้วเมื่อกระจาย สมการ (1) โดยใช้ ทบ.ทวินาม แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ของ n^k ใด ๆ ก็จะได้ค่าของสัมประสิทธิ์ของ พหุนามที่เราสมมติ ซึ่งเราเรียกว่าจำนวนเบอร์นูลลีนั่นเอง ถ้าสนใจรายละเอียดก็อย่างที่น้อง m@gpie ว่าไว้ คือ ดูในเสริมชุดที่ 36

ส่วนเรื่องที่ได้เป็นจำนวนเฉพาะ ยิ่งไปไกลสุดขอบฟ้าเลยครับ. เพราะจำนวนเฉพาะยังคงเป็นสิ่งที่เรายังมองไม่เห็นรูปแบบมันทั้งหมด แค่มีรูปแบบของ ฟังก์ชัน p(n) ซึ่งแทน จำนวน ของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n แค่นี้ก็ยังไม่เคลียร์กันมากเลยครับ. มันโยงไปถึง Riemann Hypothesis โน่นเลย

ถ้าให้จำนวนเต็มบวกตัว big ๆ มาแล้วถามว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือเปล่า แค่นี้ก็ยากระดับโลกแล้วครับ. ถ้าสนใจก็อ่านในเสริมชุดที่ 22 มั้ง

จะมีตัวอย่างง่าย ๆ ที่ได้สวย ๆ ถ้าจำไม่ผิด ก็เป็น Euler ที่เป็นยกตัวอย่างที่เยี่ยมมาก ๆ ขึ้นมา คือ n² + n + 41 คือ ถ้าแทน n ด้วย 0, 1, 2, ... , 39 ผลลัพธ์ที่ได้ออกมาจะเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด แต่ถ้าแทน n = 40 จะได้ 41² ซึ่งเป็นจำนวนประกอบในที่สุด

ลองกลับไปหาในห้องสมุดดูสิคะ หนังสือเรืองจำนวนเบอร์นูลลีน่ะ