ปัญหาเรื่องนาฬิกา

[st_alongkorn]

พอดีว่าโจทย์เป็นภาษาอังกฤษก็ขอพิมพ์เป็นภาษาอังกฤษนะครับ
The hour and minute hands of a clock are 6 and 8 inches long .
How fast are the tips of the hands separating at 12:20 ?

ข้อนี้คิดไม่ออกจริงๆ แต่ที่แน่นอนก็คือต้องใช้ความรู้ calculus + trigonometric คำตอบ คือ 0.38 in / min ขอเชิญจอมยุทธร่ายรำกระบวนท่าได้เลยครับ...

[banker]

วานแปลโจทย์เป็นภาษาไทยให้หน่อยครับ
ภาษาอังกฤษไม่ค่อยถนัด

[TOP]

เข็มชั่วโมงและเข็มนาทีมีความยาว 6 และ 8 นิ้ว ตามลำดับ
จงหาอัตราเร็วที่ปลายเข็มทั้งสองแยกออกจากกัน ที่เวลา 12:20

สำหรับจุดปลายแขนชั่วโมง จะเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่ 2p*6/(12*3600) = p/3600 inch/s (0.052 inch/min)
สำหรับจุดปลายแขนนาที จะเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่ 2p*8/(60*60) = p/225 inch/s (0.838 inch/min)

ณ เวลา 12:20 แขนทั้งสองทำมุมกัน 2p/3 - p/18 = 11p/18 เรเดียน
จึงได้ว่า ความเร็วของจุดปลายแขนทั้งสองทำมุมกัน 11p/18 เรเดียน

ดังนั้นอัตราเร็วที่จุดปลายแขนทั้งสองแยกจากกันคือ
= ึ(p/225 - pcos(11p/18)/3600)² + (psin(11p/18)/3600)² inch/s
= 0.0142846601534288 inch/s
= 0.857079609205727 inch/min

[warut]

ดังนั้น exact solution ก็คือ p/60*ึ257 + 32sin(p/9) inch/minute ตอบ

[banker]

วานช่วยแปลให้อีกทีครับ ยังไม่เข้าใจ
"จงหาอัตราเร็วที่ปลายเข็มทั้งสองแยกออกจากกัน ที่เวลา 12:20"
เอาง่ายๆเลยครับ เขาถามอะไร

[Pich]

ครับผมตอบของคุณ Banker ให้ครับ
เขาถามถึงความเร็วที่เข็มทั้งสองเคลื่อนที่ออกห่างจากกันตอนเวลา 12 : 20 โดยคล้ายกับวัดความเร็วจากปลายเข็มทั้งสอง
-----
ปล. อาจไม่เข้าใจเหมือนกันนะเอาเป็นว่าถ้าเราใช้เชือกผูกไว้ที่ปลายเข็มเข็มหนึ่งแล้วเจาะรูเข็มอีกเข็มหนึ่งร้อยเชือกในรูแล้วเราวัดความเร ็วของเชือกที่ค่อยๆหลุดออกจากรูขณะเวลานั้น

[st_alongkorn]

หลังจากที่ได้ดูวิธีการของพี่ TOP ก็ถือได้ว่าถูกต้อง แต่เมื่อผมกลับไปคิดใหม่อีกที ก็มีอีกวิธีหนึ่งที่สามารถทำได้ด้วย คือ ใช้ความรู้ของแคลคูลัสเข้ามาช่วย ดังนี้
เนื่องจากโจทย์ต้องการหาความเร็ว ( เชิงเส้น ) ที่เข็มยาววิ่งห่างออกจากเข็มสั้น หรือพูดง่ายๆ ก็คือ เราไปยืนบนปลายเข็มสั้นแล้วดูปลายเข็มยาวว่าเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่าไหร่ นั่นก็คือ ds/dt นั่นเอง
ds/dt = ds/dq ท dq/dt
หาความสัมพันธ์ระหว่าง s กับ q จะได้เป็น

s = ึ6²+8² - 2(6)(8)cosq
s = ึ100 - 96cosq
ดังนั้น ds/dq = 96sinq / ( 2 ึ100 - cosq )
ส่วน dq/dt ก็คือ ความเร็วเชิงมุมของปลายเข็มยาว เมื่อเรา ( ผู้สังเกตุ ) ยืนอยู่บนปลายเข็มสั้น ก็คำนวณได้โดย
dq/dt = w_ยาว - w_สั้น
= 2p/60 - 2p/720
dq/dt = 11p/360 inch/min
สรุป ds/dt = [ 96sinq / ( 2 ึ100 - cosq ) ] ท [ 11p/360 ]
แทนค่า q = 11p/18 ( จากวิธีของพี่ TOP )
ds / dt = 0.375675... ป 0.38 inch / min

[st_alongkorn]

พิมพ์ผิดครับ ... 2 จุด คือ บรรทัดที่ 9 และ 14
แก้จาก " 96sinq / ( 2 ึ100 - cosq ึ) "
เป็น " 96sinq / ( 2 ึ100 - 96cosq ึ) "

ตอนนี้ปัญหาอยู่ที่ว่าวิธีของพี่ TOP หรือของผมเป็นวิธีที่ถูกต้อง แต่ในขณะนี้ผมยังหาจุดผิดไม่ได้เลยทั้ง 2 วิธี ขอช่วยจอมยุทธทั้งหลายช่วยกันวิเคราะห์ด้วยครับ

[banker]

ขอบคุณท่านอาวุโสPich ที่ช่วยตอบ เกือบจะเข้าใจแล้ว ขอถามเพิ่มเติมอีกหน่อยนะครับ

ถ้าสมมุติปลายเข็มนาที(8นิ้ว )เป็นจุด A
และปลายเข็มชั่วโมง(6นิ้ว )เป็นจุด B

ความเร็วของ A เท่ากับ ระยะทางที่Aวิ่งได้(เส้นรอบวงใหญ่จากจุดที่ทับกันจนถึงเวลา12.20น.)หารเวลาที่วิ่ง
ความเร็วของ B เท่ากับระยะทางที่Bวิ่งได้(เส้นรอบวงเล็กจากจุดที่ทับกันจนถึงเวลา12.20น.ซึ่งขยับนิดเดียว)หารด้วยเวลาที่วิ่ง

นับจากเวลาที่เข็มทั้งสองทับกันจนแยกจากกันจนถึงเวลา 12.20 น. คือเวลาที่ทั้ง AและB ใช้วิ่งซึ่งเท่ากัน

ดังนั้นโจทย์ถามว่า A - B เท่ากับเท่าไร
ผมเข้าใจว่าอย่างนี้ถูกไหมครับ

[TOP]

วิธีคิดของคุณ st_alongkorn เป็นการวัดความเร็วในทิศทางจาก ปลายเข็มหนึ่งไปสู่อีกปลายเข็มหนึ่ง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นเพียงองค์ประกอบของความเร็ว ที่ผมคิดได้ในแนว s นั่นเอง หากลองตรวจสอบทิศ ของความเร็วที่ผมคิดได้ จะพบว่าทำมุมกับแนว s อยู่ 64.00325ฐ เมื่อทำการโปรเจกต์ความเร็วนี้ลงบนแกน s จะได้ความเร็วในทิศ s คือ 0.857cos(64.00325ฐ) = 0.375 inch/min นั่นเอง

เราสามารถตรวจสอบแนวคิดนี้ได้ง่ายๆ ในกรณีหนึ่งคือ ที่ q = 0 , p
หากใช้วิธีของคุณ st_alongkorn เราจะพบว่า ณ ตำแหน่งนี้จะได้ค่า s น้อยและมากที่สุดตามลำดับ นั่นคือ ds/dt = 0 (หรือจะลองแทนค่าในสูตร ก็จะได้ ds/dt = 0 เช่นกัน) แต่หากใช้วิธีเวกเตอร์แบบที่ผมใช้ จะได้ ความเร็วคือ 60(p/225 - p/3600) และ 60(p/225 + p/3600) inch/min ตามลำดับ ซึ่งความเร็วทั้งสองเมื่อ โปรเจกต์ลงบนแนว s (ทำมุมกับแนว s 90ฐ) จะได้ความเร็วในทิศ s เป็น 0 inch/min เท่ากับวิธีของคุณ st_alongkorn นั่นเอง

ตอบคุณ banker :
ไม่ใช่ครับ ความเร็วที่คุณ banker ว่ามาเป็นความเร็วเฉลี่ยจากเวลา 12:00 ถึง 12:20 แต่ที่โจทย์ต้องการคือความเร็ว ณ เวลา 12:20 ครับ

[st_alongkorn]

อ๋อ ... ผมเข้าใจแล้วครับ จริงๆ แล้วมันมีความเร็ว 2 แนว คือ แนว s กับ แนวที่ตั้งฉากกับแนว s ... ขอบคุณมากๆ ครับที่ช่วยชี้แนะ ...

[hikaru]

ไว้จะเอาโจทย์ไปให้เพื่อนๆช่วยคิดกันนะคะ คงสนุกแน่เลย

[gon]

อ้า ......ในที่สุด เราก็เจอสมาชิก lady Miss. hikarunoko ที่แวะมาคุยกับพวกเราชาวคณิตศาสตร์
(หลังจากที่ไม่มีมานาน และ ทำไมมีแต่gentleman ก็ไม่รู้ * - * )
นับว่าเป็น 1 ในตองอูจริง ๆ เพื่อสุนทรียภาพและความสมดุล ว่าง ๆ ก็ร่วมแจมกับหัวข้ออื่นได้นะครับ.
ผิดถูกไม่เป็นไร สำคัญคือ ได้คิดและแสดงความเห็นร่วมกัน