หาสามหลัีกท้าย

[tonklaZolo]

$2^{{2}^{2004}}$ หาสามหลักท้าย ??

[จูกัดเหลียง]

มั่วๆไปก่อนนะครับ
$$2^{2004}\equiv 16 \pmod{1000}$$
$$2^{2^{2004}}\equiv 2^{16}\equiv 536 \pmod {1000}$$

[PP_nine]

#2 ยังไม่จริงครับ ที่ว่า $a \equiv b \pmod{n}$ แล้วจะสรุปว่า $k^a \equiv k^b \pmod{n}$

ถ้าสนใจพวกเลขยกกำลังในระบบ modulo ต้องศึกษาเรื่อง order, primitive root, indices เพิ่มเติมด้วยน่ะครับ อยู่ๆมันจะเอามายกกำลังกันไม่ได้

ส่วนเฉลยข้อนี้ ขอ hint เอาไว้ก่อนละกัน

hint

ต้องระวังก่อนว่า $(1000,2) \not= 1$ จะใช้ทฤษฎีอะไรก็ลำบาก เลยใช้วิธีตรงๆดีที่สุด

โดยการพิจารณา $2^{10} \equiv 24 \pmod{1000}$

$(2^{10})^{6} \equiv -24 \pmod{1000}$

แสดงว่า $2^{60} \equiv -2^{10} \pmod{1000}$

เราสามารถลดทอนได้เป็น $2^{120} \equiv 2^{20} \pmod{1000}$

ทีนี้เราก็ลดทอนตัวยกกำลังโดยการพิจารณา $2^{2004}$ ใน mod 120 (ประเด็นมีอยู่แค่นี้)

[PP_nine]

ลืมไปเลย ว่าจริงๆแล้วมีอีกวิธีนึงก็คือ แยกส่วน $1000=8 \times 125$

พิจารณาใน mod 125 โดย Euler Phi Theorem ได้ว่า $2^{\phi (125)} \equiv 1 \pmod{125}$

$2^{100} \equiv 1 \pmod{125}$

จากนั้นค่อยพิจารณา $2^{2004}$ ใน mod 100 โดยแยกส่วนอีกทีเป็น $100=4 \times 25$

$2^{20} \equiv 1 \pmod{25}$

$2^{2002} \equiv 4 \pmod{25}$

แสดงว่า $2^{2004} \equiv 16 \pmod{100}$

ดังนั้น $2^{2004}=100k+16$

จากเดิมทำให้ได้ต่อว่า $2^{2^{2004}-3} \equiv 2^{100k+13} \equiv 2^{13} \pmod{125}$

ดังนั้น $2^{2^{2004}} \equiv 2^{16} \pmod{1000}$

ที่เหลือก็ค่อยๆลดทอนลงมาจนได้ว่า $2^{2^{2004}} \equiv 536 \pmod{1000}$

[tonklaZolo]

ขอบคุณคุณ PP_nine มากๆครับ