อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SlamdunkZ
ช่วยพิสูจน์ที่มาของคำตอบ (อินทิเกรตแบบแทนค่าตรีโกณ) หน่อยครับ อยากทราบที่มาอ่ะครับ
เมื่อ $a$ คือ ค่าคงที่ และ $u$ คือตัวแปร
1. $\int_{}^{}\frac{1}{a^2+u^2}\,du $
2. $\int_{}^{}\frac{1}{u\sqrt{u^2-a^2}}\,du $
3. $\int_{}^{}\sqrt{a^2-u^2}\,du $
|
ขั้นแรก จัดการให้ $a^2$ กลายเป็น $1$ ซะก่อน เพื่อที่จะได้ง่ายต่อการวิเคราะห์ต่างๆอย่างเช่น $1+\tan ^2 \theta = \sec ^2 \theta$
จากนั้นลองพยายามใส่ฟังก์ชันตรีโกณที่ทำให้มันจัดรูปง่ายขึ้น ดังนี้เลยครับ
อ้างอิง:
|
1. $\int \frac{1}{a^2+u^2} \,du $
|
$$\int \frac{1}{a^2+u^2} \,du = \frac{1}{a^2} \int \frac{1}{1+(u/a)^2} \,du=\frac{1}{a} \int \frac{1}{1+(u/a)^2} \,d(u/a)$$ จากนั้นค่อยให้ $u/a=\tan \theta$ $$\frac{1}{a} \int \frac{1}{1+\tan ^2 \theta} \,d(\tan \theta)=\frac{1}{a} \int \, d \theta = \frac{1}{a} \tan ^{-1} (u/a)$$
อ้างอิง:
|
2. $\int \frac{1}{u\sqrt{u^2-a^2}}\,du $
|
$$ \int \frac{1}{u \sqrt{u^2-a^2}} \, du = \frac{1}{a} \int \frac{1}{u \sqrt{(u/a)^2-1}} \, du = a \int \frac{1}{(u/a) \sqrt{(u/a)^2-1}} \, d(u/a)$$ เราก็ทำคล้ายกัน โดยให้ $u/a=\sec \theta$ (หรืออาจเป็น $\csc$ ก็ได้ แล้วแต่) $$a \int \frac{1}{\sec \theta \sqrt{\sec ^2 \theta -1}} \, d(\sec \theta)=a \int \, d \theta = a \sec ^{-1} (u/a)$$ อีกข้อลองทำดูครับ ไม่น่าจะยากแล้วถ้าเห็นวิธีทั้งสองนี้
11 พฤศจิกายน 2011, 18:10
ช่วยพิสูจน์การอินทิเกรตแบบแทนค่าตรีโกณ
