total orthonormal set

[konkoonJAi]

ช่วยอธิบายบรรทัดที่ว่า By continuity of the inner product we have <v-w,v-w>=0 ให้หน่อยนะคะ ไม่เข้าใจเลย ว่ามายังไง

[nooonuii]

เนื่องจาก $v-w\in\overline{span(M)}$ จะมีลำดับ $x_n$ ใน $span(M)$ ซึ่ง $x_n\to v-w$
เนื่องจาก inner product เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราจะได้ว่า

$<v-w,x_n>\to <v-w,v-w>=\|v-w\|^2$

แต่ $<v-w,x_n>=0$ ทุกค่า $n$ เราจึงได้ว่า $\|v-w\|^2=0$ โดยคุณสมบัติความเป็นหนึ่งเดียวของลิมิต

ป.ล. บรรทัดที่ 3 ใช้ความจริงที่ว่า

$f$ is continuous at $x$ $\Leftrightarrow$ whenever $x_n\to x$ we have $f(x_n)\to f(x)$

[konkoonJAi]

ขอบคุณมากค่ะ