โจทย์ของผม!?

[Spotanus]

ให้ $x,y,z\geq 0$ ซึ่ง $x+y+z=3$
จงแสดงว่า $\frac{x+y}{1+z}+\frac{y+z}{1+x}+\frac{z+x}{1+y} \geq 3$

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

ให้ $x,y,z\geq 0$ ซึ่ง $x+y+z=3$
จงแสดงว่า $\frac{x+y}{1+z}+\frac{y+z}{1+x}+\frac{z+x}{1+y} \geq 3$

ให้ $x=\frac{3a}{a+b+c},y=\frac{3b}{a+b+c},z=\frac{3c}{a+b+c}$ $\therefore\frac{x+y}{1+z}+\frac{y+z}{1+x}+\frac{z+x}{1+y} \geq 3$ $\Leftrightarrow$ $\frac{a}{a+b+4c}+\frac{b}{a+b+4c}+\frac{b}{b+c+4a}+\frac{c}{b+c+4a}+\frac{c}{c+a+4b}+\frac{a}{c+a+4b}
\geq 1$ ซึ่งเป็นจริงโดยอสมการ cauchy-schwarz และ $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

ให้ $x,y,z\geq 0$ ซึ่ง $x+y+z=3$
จงแสดงว่า $\dfrac{x+y}{1+z}+\dfrac{y+z}{1+x}+\dfrac{z+x}{1+y} \geq 3$

ใช้อสมการโคชีโดยตรงก็ได้ครับ

$3(xy+yz+x)\leq (x+y+z)^2\Rightarrow xy+yz+zx\leq 3$

ดังนั้นโดยอสมการโคชีจะได้

$\dfrac{x+y}{1+z}+\dfrac{y+z}{1+x}+\dfrac{z+x}{1+y}=\dfrac{(x+y)^2}{(1+z)(x+y)}+\dfrac{(y+z)^2}{(1+x)(y+z)}+\dfrac{(z+x)^2}{(1+y )(z+x)}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\geq \dfrac{4(x+y+z)^2}{2(x+y+z)+2(xy+yz+zx)}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\dfrac{18}{3+xy+yz+zx}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \geq 3$

[Punk]

(Lagrange Multiplier Method. Ref: Calculus, Multivariable; James Stewart)

ให้ $F(x,y,z)=\frac{x+y}{1+z}+\frac{y+z}{1+x}+\frac{z+x}{1+y}$ และ $g(x,y,z)=x+y+z$

โดย Lagrange multiplier method เราพิจารณาสมการ
\[
\nabla F=\lambda\nabla g,\qquad g(x,y,z)=3
\]
คำนวณในกระดาษทด ได้ว่าสมการ $\nabla F=\lambda\nabla g$ สมมูลกับ
\[
\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+y}-\frac{y+z}{(1+x)^2}
=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+z}-\frac{x+z}{(1+y)^2}
=\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+y}-\frac{x+y}{(1+z)^2}
\]
ซึ่งสมมูลกับ $x=y=z$ ดังนั้น $(x,y,z)=(1,1,1)$ เป็นจุดวิกฤติหนึ่งเดียวของ $F$

ที่ขอบของโดเมนของ $F$: $x=0,3$ หรือ $y=0,3$ หรือ $z=0,3$ ทั้งหมดให้ค่า $4.5\leq F\leq6$ ดังนั้น
\[
3\leq F(x,y,z)\leq6
\]

[Uranus Hunter]

โดย Cauchy
$\frac 1{1+x} +\frac 1{1+y} +\frac 1{1+z} \geq \frac 9{3+x+y+z} = \frac 3{2} $

$\frac {1+x+y+z}{1+x} +\frac {1+x+y+z}{1+y} +\frac {1+x+y+z}{1+z} \geq 6$
$\frac {y+z}{1+x} +\frac {z+x}{1+y} +\frac {x+y}{1+z} \geq 3$

ผมว่าสวยดีนะครับ

[[FC]_Inuyasha]

ช่วยอธิบายกฏของโคซีหน่อยครับ

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

ช่วยอธิบายกฏของโคซีหน่อยครับ

See here
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%...arz_inequality