ช่วยหน่อยครับ

[Siren-Of-Step]

Find all positive integers n of which
$$(1^4+\frac{1}{4})(2^4+\frac{1}{4})(3^4+\frac{1}{4})..(n^4+\frac{1}{4}) $$

is the square of a rational number

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

Find all positive integers n of which
$$(1^4+\frac{1}{4})(2^4+\frac{1}{4})(3^4+\frac{1}{4})..(n^4+\frac{1}{4}) $$

is the square of a rational number

ให้ $a_n = n^4+\frac{1}{4} = (n^2-n+\frac{1}{2})(n^2+n+\frac{1}{2}) = ((n-1)n+\frac{1}{2})(n(n+1)+\frac{1}{2})$

จะได้ $a_{n+1}=(n(n+1)+\frac{1}{2})((n+1)(n+2)+\frac{1}{2})$

จะเห็นได้ว่าค่าในวงเล็บหลังของ $a_n$ = ค่าในวงเล็บแรกของ $a_{n+1}$ ดังนั้นผลคูณของโจทย์ถ้าแยกตัวประกอบ จะได้

$(0(1)+\frac{1}{2})(1(2)+\frac{1}{2})(1(2)+\frac{1}{2})(2(3)+\frac{1}{2})...((n-1)n+\frac{1}{2})(n(n+1)+\frac{1}{2})$

จะเป็นกำลังสองสมบูรณ์เมื่อ $n(n+1)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}m^2$ สำหรับจำนวนตรรกยะ m บางจำนวน

$2n^2+2n+1=m^2$

แสดงว่า m เป็นจำนวนเต็มด้วย

$n^2+(n+1)^2 = m^2$

เนื่องจากผลเฉลยของสมการ pythagoras $a^2+b^2=c^2$ โดยที่ a, b เป็นเต็มบวกที่อยู่ติดกันมีเพียงชุดเดียว $3^2+4^2=5^2$

ดังนั้น $m = \pm5$ และจะได้ว่า $n = 3$ เป็นคำตอบเดียวเท่านั้นที่เป็นไปได้

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ★★★☆☆

ให้ $a_n = n^4+\frac{1}{4} = (n^2-n+\frac{1}{2})(n^2+n+\frac{1}{2}) = ((n-1)n+\frac{1}{2})(n(n+1)+\frac{1}{2})$

จะได้ $a_{n+1}=(n(n+1)+\frac{1}{2})((n+1)(n+2)+\frac{1}{2})$

จะเห็นได้ว่าค่าในวงเล็บหลังของ $a_n$ = ค่าในวงเล็บแรกของ $a_{n+1}$ ดังนั้นผลคูณของโจทย์ถ้าแยกตัวประกอบ จะได้

$(0(1)+\frac{1}{2})(1(2)+\frac{1}{2})(1(2)+\frac{1}{2})(2(3)+\frac{1}{2})...((n-1)n+\frac{1}{2})(n(n+1)+\frac{1}{2})$

จะเป็นกำลังสองสมบูรณ์เมื่อ $n(n+1)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}m^2$ สำหรับจำนวนตรรกยะ m บางจำนวน

$2n^2+2n+1=m^2$

แสดงว่า m เป็นจำนวนเต็มด้วย

$n^2+(n+1)^2 = m^2$

เนื่องจากผลเฉลยของสมการ pythagoras $a^2+b^2=c^2$ โดยที่ a, b เป็นเต็มบวกที่อยู่ติดกันมีเพียงชุดเดียว $3^2+4^2=5^2$

ดังนั้น $m = \pm5$ และจะได้ว่า $n = 3$ เป็นคำตอบเดียวเท่านั้นที่เป็นไปได้

เข้ามาบอกว่าไม่ได้มีคำตอบเดียว ลองแทน $n=20 $ ดูครับ

[★★★☆☆]

ผมลืมไปครับ ยังมี 20, 21, 29 ด้วย

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ★★★☆☆

ผมลืมไปครับ ยังมี 20, 21, 29 ด้วย

ไม่ได้มีแค่ 2 ชุดนะครับ
มีมากกว่านั้นอีก (มีเป็นอนันต์)
เช่น (3,4,5) , (20,21,29) , (119,120,169),(696,697,985),...

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

งั้นก็ต้องตอบในรูป general solution
ของลำดับ 3 , 20 , 119 , 696 , ...
ใช่ไหมครับ

[★★★☆☆]

ที่จริงแล้วปัญหาข้อนี้มันเกี่ยวข้องกับสมการ Diophantine คล้าย ๆ จำพวก Pell 's eqaution ซึ่งผมไม่อยากไปรื้อฟื้นเท่าไร ประกอบกับจำผิดด้วยว่า รากของสมการ pythagoras ในรูป (a,a+1,c) มีจำนวนจำกัด

สมการนี้ถ้าจัดรูปใหม่เป็น $(2n+1)^2-2m^2=-1$

ถ้าสมมติให้ $(n, m) = (x, y)$ แล้ว $x^2-2y^2=-1$

ซึ่งอาจจะหารากได้จากเศษส่วนต่อเนื่อง โดยถ้าเขียน

$\sqrt{2} = 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+...}}}$

จากนั้นพิจารณาค่าของมันเมื่อลู่เข้าทีละลำดับต่าง ๆ จะได้

$\frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, ...$

คำตอบของ (x, y) ที่สอดคล้องกับสมการ $x^2-2y^2=-1$

จะัได้จากลำดับในพจน์คี่ คือ (x, y) = (1, 1), (7, 5), (41, 29), ...

ดังนั้น $n = \frac{x-1}{2} = 0, 3, 20, ...$

(ของเราไม่นับ 0)

ซึ่งถ้าทำแบบ pell's eqaution คือ $(x_k,y_k) = (x_1 +y_1\sqrt{2})^k$ เมื่อ $(x_1, y_1)$ เป็นรากน้อยสุดคือ (1, 1) และ ในที่นี้ k = 1, 3, 5, ...

เช่น $(1+\sqrt{2})^3 = (7+5\sqrt{2})$ แล้ว, (x, y) = (7, 5)

$(1+\sqrt{2})^5 = (41+29\sqrt{2})$ , (x, y) = (41, 29)

$(1+\sqrt{2})^7 = (239+169\sqrt{2})$ , (x, y) = (239, 169)

$(1+\sqrt{2})^9 = (1393+985\sqrt{2})$, (x, y) = (1393, 985)

$(1+\sqrt{2})^{11} = (8119+5741\sqrt{2})$ , (x, y) = (8119, 5741) ,...

ก็จะได้ n ที่เป็นจำนวนเต็มบวกคือ 3, 20, 119, 696, 4059, ...

ถ้าเขียนเป็นสูตร ก็คงเป็น $n = \frac{x_k-1}{2}$

เมื่อ $x_k$ ได้จาก $ (x_k + y_k\sqrt{2}) = (1+\sqrt{2})^k$ โดยที่ k = 3, 5, 7, ...