ถามโจทย์เพชรยอดมงกุฎ ม.ปลาย

[ยังห่างไกลจากความเป็นเทพ]

ผมมีข้อสงสัยดังต่อไปนี้ครับ

$1. \binom{2003}{1}+ \binom{2003}{4}+ \binom{2003}{7}+...+ \binom{2003}{2002} $
หาค่ายังไงครับ พยายามแล้วแต่คิดไม่ออกครับ

2. ระบบสมการ
$x+y+z = 0 $
$x^3+y^3+z^3 = 3$
$x^5+y^5+z^5 = 0$
จงหา $ x^{2008}+y^{2008}+z^{2008}$
หายังไงครับ ผมหาได้แค่ $ xyz =1 $ เองครับ คิดไม่ออกว่าจะเอากำลัง 5 มาใช้ยังไง

ขอบคุณมากครับ

[Real Matrik]

ข้อ 1 การแก้ปัญหาที่คล้ายกัน (เครดิตจากหนังสือ โลกอสมการ 1 ครับ)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ยังห่างไกลจากความเป็นเทพ

2. ระบบสมการ
$x+y+z = 0 $
$x^3+y^3+z^3 = 3$
$x^5+y^5+z^5 = 0$
จงหา $ x^{2008}+y^{2008}+z^{2008}$

หา $xy+yz+zx$ ก่อน

ถ้า $x+y+z=0$ แล้ว $\dfrac{x^5+y^5+z^5}{5}=\left(\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}\right)\left(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}\right)$

ดังนั้น $x^2+y^2+z^2=0$

จากเอกลักษณ์ $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$

จะได้ว่า $xy+yz+zx=0$

จึงได้ระบบสมการ

$x+y+z=0$

$xy+yz+zx=0$

$xyz=1$

ดังนั้น $x,y,z$ เป็นรากของสมการ $t^3-1=0$

นั่นคือ $x^3=y^3=z^3=1$

ลองต่ออีกนิดก็ได้แล้วครับ

[lek2554]

#3

ท่าน nooonuii ครับ ถ้าเราบอกว่าโจทย์มีข้อบกพร่อง ระบบสมการไม่เป็นจริงจะได้ไหม๊ครับ

เพราะในระดับ ม.ปลาย ถ้าไม่ได้กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ จะถือว่าเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจำนวนจริง

[ยังห่างไกลจากความเป็นเทพ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\dfrac{x^5+y^5+z^5}{5}=\left(\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}\right)\left(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}\right)$

มาจากไหนครับ หรือเป็นสูตรหนึ่งที่ต้องรู้เองอยู่แล้วครับ???

[Real Matrik]

ปกติถ้าอยากหาค่าของ $x^5+y^5+z^5$ จะเริ่มจากการกระจาย $(x^3+y^3+z^3)(x^2+y^2+z^2)$ ครับ (สำหรับผมนะ)

[nooonuii]

เผอิญว่าผมจำเอกลักษณ์กำลังห้าในรูปนั้นได้แล้วก็เลยเขียนออกมาในรูปนั้น

แต่ถ้ายังไม่รู้จักตัวนั้นใช้เอกลักษณ์ของนิวตันก็ได้ครับ ซึ่งควรจะเป็นวิธีนี้เพราะใช้ได้กว้างกว่ามาก

$x^n+y^n+z^n=(x+y+z)(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1})-(xy+yz+zx)(x^{n-2}+y^{n-2}+z^{n-2})+xyz(x^{n-3}+y^{n-3}+z^{n-3})$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~=-(xy+yz+zx)(x^{n-2}+y^{n-2}+z^{n-2})+x^{n-3}+y^{n-3}+z^{n-3}$

$n=3$; $x^3+y^3+z^3=3$

$n=4$; $x^4+y^4+z^4=-(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2)$ <-- ไม่จำเป็นต้องหาก็ได้

$n=5$; $x^5+y^5+z^5=-(xy+yz+zx)(x^3+y^3+z^3)+x^2+y^2+z^2$

แต่ $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=-2(xy+yz+zx)$

แทนกลับไปในกรณี $n=5$ ได้

$0=-3(xy+yz+zx)-2(xy+yz+zx)$

$xy+yz+zx=0$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

#3

ท่าน nooonuii ครับ ถ้าเราบอกว่าโจทย์มีข้อบกพร่อง ระบบสมการไม่เป็นจริงจะได้ไหม๊ครับ

เพราะในระดับ ม.ปลาย ถ้าไม่ได้กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ จะถือว่าเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจำนวนจริง

ถ้าผมออกข้อสอบข้อนี้จะใส่เงื่อนไขให้รัดกุมกว่านี้ครับ

[หยินหยาง]

#4
ถ้าผมจำไม่ผิด ม.ปลายไม่ได้มีการกำหนดว่าเอกภพสัมพัทธ์ต้องเป็นจำนวนจริงเหมือน ม.ต้น ยกเว้นในเรื่องเซตที่มีเขียนไว้ในหลักสูตร เพราะ ม.ปลายมีเรียนเรื่องจำนวนเชิงซ้อน หรือบางเรื่องที่มีนิยามไว้ในบทเรียนครับ เช่น ฟังก์ชั่นเอกซ์โปเนลเชี่ยนหรือฟังก์ชั่นลอกการิทึม เป็นต้น และข้อสอบส่วนใหญ่ที่ใช้แข่งขันหลายครั้งก็ไม่ได้ระบุเพียงแต่ว่าจะไปได้คำตอบเป็นรูปแบบไหนแค่นั้นเอง กับอีกประเภทคือกำหนดว่าเป็นจำนวนจริงไว้ในโจทย์เพื่อต้องการให้รูปแบบของคำตอบมีความเป็น unique ตามที่ผู้ออกข้อสอบต้องการ (เป็นความคิดเห็นส่วนตัวครับ)

#5
มีหนังสือ พีชคณิต ของ สอวน มั้ยครับ เป็นโจทย์ปัญหาในหนังสือครับ

[Keehlzver]

เอกลักษณ์กำลังห้าอีกรูปหนึ่ง $(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5=5(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)(x+y)(y+z)(z+x)$

ถ้ามันยาวก็จำแบบของพี่ Nooonuii ไปเลยดีกว่าครับ เพราะนำไปประยุกต์ได้ดีกว่า

โจทย์ข้อ 1 มันประยุกต์จำนวนเชิงซ้อน ลองตั้งข้อสังเกตว่ามันห่างกัน 3 หน่วย คือ 1 4 7 ใช้รากที่ 3 ของ 1 ถ้าห่างกัน 6 หน่วยก็น่าจะใช้รากที่ 6 ของ 1
เช่นปัญหาใน version ที่ยากขึ้นคือ จงหาค่าของ $\binom{n}{0}+\binom{n}{6}+\binom{n}{12}+...$