แยกตัวประกอบ

[kmaip1]

(2^8)+(2^10)+(2^n)=m^2 เมื่อ m,n เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่า n ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

[nooonuii]

ถ้า $n\leq 10$ จะได้ $n=4,10$

สมมติ $n>10$ จะได้

$2^8(2^{n-8}+5)=m^2$

จะได้ว่า $2^{n-8}+5$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์

ซึ่งเป็นไปไม่ได้ใน modulo $8$

[artty60]

อีกวิธีนะครับ

$5\times 2^8=(m-2^{\frac{n}{2}})(m+2^{\frac{n}{2}})$

หลังจากนั้นดูตัวประกอบของจำนวนทางซ้ายทั้งหมด9คู่ มี2คู่ที่ เข้าเงื่อนไขโจทย์คือ $(16,80) และ (32,40)$

จะได้ว่ามีค่า n ที่เข้าเงื่อนไขโจทย์ คือ 4 และ 10 ครับ

[kmaip1]

คุณNooonuii คุณArtty60 ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

อีกวิธีนะครับ

$5\times 2^8=(m-2^{\frac{n}{2}})(m+2^{\frac{n}{2}})$

หลังจากนั้นดูตัวประกอบของจำนวนทางซ้ายทั้งหมด9คู่ มี2คู่ที่ เข้าเงื่อนไขโจทย์คือ $(16,80) และ (32,40)$

จะได้ว่ามีค่า n ที่เข้าเงื่อนไขโจทย์ คือ 4 และ 10 ครับ

วิธีนี้ต้องเช็คก่อนมั้ยครับว่า $n$ ต้องเป็นเลขคู่

[artty60]

โดยส่วนตัวผมคิดว่าตัวประกอบของจำนวนททางซ้ายมี18ตัวหรือ9คู่ นั้นนำไปใช้ถือเป็นการเช็คไปในตัว(ได้รึเปล่า?)

ไม่ทราบว่าท่านnooonuiiว่าอย่างไรช่วยแนะนำหน่อยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

โดยส่วนตัวผมคิดว่าตัวประกอบของจำนวนททางซ้ายมี18ตัวหรือ9คู่ นั้นนำไปใช้ถือเป็นการเช็คไปในตัว(ได้รึเปล่า?)

ไม่ทราบว่าท่านnooonuiiว่าอย่างไรช่วยแนะนำหน่อยครับ

ถ้า $n$ เป็นเลขคี่ แต่ละเทอมทางขวามือจะเป็นจำนวนอตรรกยะ

ซึ่งเราใช้การแยกตัวประกอบแบบจำนวนเต็มไม่ได้น่ะสิครับ

จะมีกรณีอย่างเช่น แยกเป็น $(5\sqrt{2})(128\sqrt{2})=(m-2^{n/2})(m+2^{n/2})$

แบบนี้ยังมีอีกเยอะเลยที่จะต้องเช็ค

ยกเว้นว่าจะใช้เครื่องมือหนักอย่างพวก algebraic number theory

แต่ข้อนี้ไม่ต้องไปไกลขนาดนั้นหรอก

[artty60]

เห็นด้วยครับ ขอบคุณมากครับ