อสมการ

[mercedesbenz]

ให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ จงแสดงว่า
$a+b+c+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\geq 4\sqrt[3]{abc}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mercedesbenz

ให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ จงแสดงว่า
$a+b+c+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\geq 4\sqrt[3]{abc}$

ไม่จริงครับ ให้ $a=b=c=1$ ได้ $3+\dfrac{1}{3}\geq 4$ ซึ่งเป็นเท็จ

[mercedesbenz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ไม่จริงครับ ให้ $a=b=c=1$ ได้ $3+\dfrac{1}{3}\geq 4$ ซึ่งเป็นเท็จ

แล้วถ้าเป็นอย่างนี้ล่ะครับ $a+b+c+\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\geq 4\sqrt[3]{abc}$
เป็นจริงอยู่รึเปล่า ถ้าจริงพิสูจน์อย่างไรดี

[God Phoenix]

จริงครับ
ใช้ AM-GM รวดเลย
จาก $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$
$a+b+c \geq 3\sqrt{\frac {ab+bc+ca}{3}}$

$LS= \sqrt{\frac {ab+bc+ca}{3}}+[2\sqrt{\frac {ab+bc+ca}{3}}+\frac {3abc}{ab+bc+ca}]$
$\geq \sqrt[3]{abc}+[3\sqrt[3]{\frac {ab+bc+ca}{3}\frac {3abc}{ab+bc+ca}}]$
$\geq 4\sqrt[3]{abc}$

[mercedesbenz]

ขอบคุณมากครับ ที่ช่วยแนะนำ วิธีเยี่ยมเลยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mercedesbenz

ให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ จงแสดงว่า
$a+b+c+\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\geq 4\sqrt[3]{abc}$

เป็นจำนวนจริงบวกด้วยรึเปล่าครับ

ถ้าทุกตัวเป็นจำนวนจริงบวกผมขอเสนออีกหนึ่งวิธี

เนื่องจากอสมการ homogeneous

เราสามารถ normalize ให้ $a+b+c=1$

ให้ $r=\sqrt[3]{abc}$

จะได้ว่า

$r\leq\dfrac{1}{3}$

จากอสมการ AM-GM

และจากอสมการ

$3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2=1$

จะได้

$ab+bc+ca\leq\dfrac{1}{3}$

ด้วยเช่นกัน

ดังนั้น

$LHS = 1+\dfrac{3abc}{ab+bc+ca}$

$~~~~~~\geq 1+9abc$

$~~~~~~= 1+9r^3$

จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า

$1+9r^3\geq 4r$

$9r^3-4r+1 \geq 0$

$(3r-1)(3r^2+r-1)\geq 0$

แต่ $3r-1\leq 0$

และ $3r^2+r-1\leq \dfrac{3}{9}+\dfrac{1}{3}-1 < 0$

ดังนั้น $(3r-1)(3r^2+r-1)\geq 0$

[mercedesbenz]

ใช่ครับ $a, b, c $ เป็นจำนวนจริงบวกครับ คุณ nooonuii สุดยอดจริงๆครับ มองทะลุหมดเลย
ขอบคุณมากนะครับ ได้อีกวิธีเลย แต่ตอนแรกใช้แค่ AM-GM ทำไม่ออกซักที