งง

[Ipod]

$e^{i\theta}=cis\left(\theta\right)=cis\left(\theta+2\pi\right)=e^{i\left(\theta+2\pi\right)}$
???
$\pi=0$ ???

[Ipod]

$e^{i\pi/2}=i$ ดังนั้น $i^{i}=e^{-\pi/2}$ ???
(แถมยังเท่ากับ $e^{3\pi/2}$ ) ???

[Anonymous314]

นั่นนะสิครับ ผมก็งง
แล้ว $sin \theta = sin(2\pi+\theta$)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ipod

$e^{i\theta}=cis\left(\theta\right)=cis\left(\theta+2\pi\right)=e^{i\left(\theta+2\pi\right)}$
???
$\pi=0$ ???

ผิดแน่นอนครับ ผมเคยบอกไปแล้วในกระทู้หนึ่งว่า

$e^z=e^w$ ไม่ได้หมายความว่า $z=w$

ที่เป็นเช่นนี้เำพราะว่า exponential function เป็น many-to-one function บนเซตของจำนวนเชิงซ้อน

ไม่ได้เป็น one-to-one function เหมือนบนเซตของจำนวนจริง

[Ipod]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ipod

$e^{i\pi/2}=i$ ดังนั้น $i^{i}=e^{-\pi/2}$ ???
(แถมยังเท่ากับ $e^{3\pi/2}$ ) ???

ขอถามคุณ nooonuii อีกหน่อยนะครับ
แล้วข้างบนเนี่ย มันผิดตรงไหนหรอครับ? $e^{-\pi/2}=e^{3\pi/2}$

ปล. แล้วทำไมออยเลอร์บอกว่า $\ln{\left(-1\right)}=\pi i$ ในเมื่อบนเชิงซ้อน ลอน ไม่ใช่ฟังก์ชัน?
ขอบคุณเน้อ

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ipod

ขอถามคุณ nooonuii อีกหน่อยนะครับ
แล้วข้างบนเนี่ย มันผิดตรงไหนหรอครับ? $e^{-\pi/2}=e^{3\pi/2}$

ปล. แล้วทำไมออยเลอร์บอกว่า $\ln{\left(-1\right)}=\pi i$ ในเมื่อบนเชิงซ้อน ลอน ไม่ใช่ฟังก์ชัน?
ขอบคุณเน้อ

$\ln{x}$ จะเป็นฟังก์ชันครับ ถ้ากำหนด domain ไว้

คิดง่ายๆก็เหมือนกับกราฟ $\arctan{x}$ ที่กำหนดค่าโดเมนไว้เป็น $-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}$

แต่ผมจำไม่ได้ว่าในระบบเชิงซ้อน $\ln{x}$ มี domain เป็นอะไร ถ้าจำไม่ผิด น่าจะเป็น $-\pi\leq x<\pi$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ipod

$e^{i\theta}=cis\left(\theta\right)=cis\left(\theta+2\pi\right)=e^{i\left(\theta+2\pi\right)}$
???
$\pi=0$ ???

$e^{i\theta}=e^{i\theta+2\pi i}$

$e^0=e^{2\pi i}$

แต่จากบรรทัดนี้เราสรุปไม่ได้ว่า $2\pi i=0$

ถ้าจะให้ฟังก์ชัน exponential มี inverse คือ logarithm เราจะต้องนิยาม

logarithm โดยไม่ให้ ปัญหาข้างบนเกิดขึ้น

มีวิธีนิยาม logarithm ได้มากมายเป็นอนันต์วิธี

เช่น นิยาม

$Log\,z = \ln{|z|}+i \,Arg(z),-\pi < Arg(z) \leq \pi$

$\log z = \ln{|z|}+i \,arg(z), 0< arg(z) \leq 2\pi$

$\log z = \ln{|z|}+i \,arg(z), -1< arg(z) \leq -1+2\pi$

etc

ที่เรานิยมใช้กันคือแบบแรกซึ่งเรียกว่า Principal Branch of logarithm

จะเห็นว่า logarithm branch ไม่ว่านิยามยังไงโดเมนของ arg(z) จะอยู่ในรูป

$(a,a+2\pi]$

ย้อนกลับไปที่คำุถามเดิม

$e^0=e^{2\pi i}$

เราไม่สามารถใช้คุณสมบัติของ logarithm ลดทอนสมการเป็น

$0=2\pi i$

ได้เลยไม่ว่าเราจะนิยาม logarithm แบบไหน เำพราะ

$0$ กับ $2\pi$ จะัไม่อยู่บนโดเมนเดียวกันเมื่อเรานิยามฟังก์ชัน $arg(z)$

จากสมการ $e^{\pi i}=-1$

ถ้าเราใช้ Principal branch logarithm เราจะได้ว่า

$Log(-1) = \pi i$ เท่านั้น จะไม่เท่ากับ $3\pi i$ ครับ

แต่ถ้าเลือก logarithm แบบนี้

$\log(z)=\ln{|z|}+i \,arg(z),2\pi < arg(z) \leq 4\pi$

เราจะได้

$\log(-1)=3\pi i$

หมายเหตุ arg(z) คือ argument ของจำนวนเชิงซ้อน $z$ ครับ

__________________________________________________________________

ส่วน $i^i=e^{-\pi/2}$

ฟังก์ชันชี้กำลัง $z^w$ มีข้อจำกัดเยอะมากครับ

แม้แต่บนเซตของจำนวนจริง

บนเซตของจำนวนเชิงซ้อนเรานิยามฟังก์ชันชี้กำลังแบบนี้ครับ

$z^w=e^{w\log{z}},z\neq 0$

ซึ่งปัญหามันก็จะวนกลับไปที่เดิมคือเรื่องของ logarithm branch

ว่าเราจะเลือกใช้แบบไหน

ถ้าเลือกแบบแรก

$i^i=e^{i\,Log\,i}=e^{i\,(\pi i/2)}=e^{-\pi/2}$

แต่ถ้าเลือกแบบที่สองที่ผมแสดงให้ดูจะได้

$i^i=e^{-3\pi/2}$

แต่ทั้งสองค่านี้จะนำมาใช้พร้อมกันไม่ได้เำพราะเรานิยามผ่าน

logarithm คนละตัวกัน

จะศึกษาจำนวนเชิงซ้อนให้เข้าใจถ่องแท้ต้องเข้าใจ logarithm ให้ได้ก่อนครับ

และต้องแกล้งลืมคุณสมบัติบางอย่างที่ใช้ได้บนเซตของจำนวนจริงด้วยครับ

เพราะเราอยู่บนโลกที่ใหญ่ขึ้นกฎบางอย่างอาจจะใช้ไม่ได้

เหมือนกับบางพื้นที่ในแอฟริกามีเผ่ามนุษย์กินคน กินคนได้ไม่ผิดกฎของเผ่าแต่อย่างใด

แต่พอมองในประชาคมโลกที่เรียกตัวเองว่าผู้มีอารยธรรม การกินเนื้อมนุษย์ด้วยกันคือข้อห้าม ผิืดกฎหมาย

สรุปว่า งงกว่าเดิมไหมครับ

[Ipod]

ผมไม่งงมากขึ้นหรอกครับ คุณ nooonuii
ขอบคุณมากครับ ที่ทำให้กระจ่าง (อย่างน้อยก็กระจ่างขึ้น)
ไหนๆมาเรื่องที่ผมงงงงอยู่นาน ก็ขอถามอีกซักปัญหานึง
คือว่า Taylor Series อะครับ ที่เค้าบอกว่า
$$\sin{x}=\frac{x}{1!}-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-...$$
ผมได้ยินมาว่า x เป็นมุมในหน่วยเรเดียนใช่ไหมครับ?
ผมงงว่า
(a)ในบทพิสูจน์ของมัน ไม่เห็นว่าจะมีตรงไหนที่ใช้ความเป็นเรเดียนมาอ้างเลยนิครับ?
แล้วรู้ได้ยังไงว่า ต้องแทนเป็นเรเดียน
(b)อนุกรมนี้จะจริงหรอครับ ถ้าผมเพิ่มคาบของมันเข้าไป (i.e.,อนุกรมนั้นมีคาบ $2\pi$ หรอครับ?)
ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ipod

ผมไม่งงมากขึ้นหรอกครับ คุณ nooonuii
ขอบคุณมากครับ ที่ทำให้กระจ่าง (อย่างน้อยก็กระจ่างขึ้น)
ไหนๆมาเรื่องที่ผมงงงงอยู่นาน ก็ขอถามอีกซักปัญหานึง
คือว่า Taylor Series อะครับ ที่เค้าบอกว่า
$$\sin{x}=\frac{x}{1!}-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-...$$
ผมได้ยินมาว่า x เป็นมุมในหน่วยเรเดียนใช่ไหมครับ?
ผมงงว่า
(a)ในบทพิสูจน์ของมัน ไม่เห็นว่าจะมีตรงไหนที่ใช้ความเป็นเรเดียนมาอ้างเลยนิครับ?
แล้วรู้ได้ยังไงว่า ต้องแทนเป็นเรเดียน
(b)อนุกรมนี้จะจริงหรอครับ ถ้าผมเพิ่มคาบของมันเข้าไป (i.e.,อนุกรมนั้นมีคาบ $2\pi$ หรอครับ?)
ขอบคุณครับ

(a) บทพิสูจน์เป็นยังไงครับ ผมอยากเห็น

อนุกรมดังกล่าวเป็นการกระจายรอบจุดศูนย์ ซึ่ง $0^{\circ}=0$ radian พอดี

อาจจะเป็นจุดนี้ก็ได้ที่ทำให้มองไม่เห็นความแตกต่าง

แต่ยังไงก็ต้องใช้หน่วย radian ครับ


(b) อนุกรมนี้ลู่เข้าทุกจำนวนจริงครับ พิสูจน์โดยใช้ ratio test ก็ได้

โดยทฤษฎีบทของ Taylor อนุกรมนี้ลู่เข้าหา $\sin{x}$ ทุกค่า $x$

ดังนั้นเราจะได้

$$\sin{x}=\frac{x+2\pi}{1!}-\frac{(x+2\pi)^{3}}{3!}+\frac{(x+2\pi)^{5}}{5!}-...$$

โดยปริยาย ซึ่งก็คงขัดแย้งความรู้สึกพอสมควรครับ