GI

[God Phoenix]

กำหนดสามเหลี่ยม ABC D เป็นจุดบน BC ซึ่ง AD เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม A ทำนองเดียวกัน BE,CF แบ่งครึ่งมุมฺ B,C
และ r เป็นรัศมีวงกลมแนบใน ABC จงแสดงว่า

$\frac {1}{AD}+\frac {1}{BE}+\frac {1}{CF} \leq \frac {1}{r}$

ช่วยผมหน่อยนะครับ

ป.ล. ผมได้โพสข้อนี้แล้วครังหนึ่งในหมวดเรขาคณิต คราวนี้จึงลองมาแปะในหมวด IE ดูบ้างน่ะครับ

[[SIL]]

อย่างนี้ได้หรือปล่าวครับ

(เวลาไปวาดสามเหลี่ยมแนบในวงกลมในกรณีไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก เราจะเห็นว่า r เป็นเพียงด้านประกอบมุมฉากของ$\frac{1}{3}AD ,\frac{1}{3}BE ,\frac{1}{3}CF$ แต่ถ้าเป็นด้านเท่ามันจะเป็นเส้นๆเดียวกันครับ )
จาก $r\leqslant\frac{1}{3}AD \rightarrow \frac{1}{r} \geqslant \frac{3}{AD}$
จาก $r\leqslant\frac{1}{3}BE \rightarrow \frac{1}{r} \geqslant \frac{3}{BE}$
จาก $r\leqslant\frac{1}{3}CF \rightarrow \frac{1}{r} \geqslant \frac{3}{CF}$
ใช้คุณสมบัติจุดเซนทรอยอ่ะครับที่แบ่งด้านเป็น 2:1
เอามาบวกกันให้หมดได้
$\frac{1}{r}+\frac{1}{r}+\frac{1}{r} \geqslant \frac{3}{AD}+\frac{3}{BE}+\frac{3}{CF}$
$\frac{1}{r} \geqslant \frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF} $ ตามต้องการ

และอสมการจะเป็นสมการได้ก็ต่อเมื่อรูปสามเหลี่ยมรูปนั้นเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าครับ

[God Phoenix]

อืม ถ้าดูตามรูปของคุณ [SIL] แล้ว
ผมว่า ส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากที่ว่า ไม่น่าใช่$\frac {1}{3}AD ,\frac {1}{3}BE ,\frac {1}{3}CF$ นะครับ
มันไม่ใช่เส้นมัธยฐานนี่นา

[[SIL]]

เนี่ยครับ (วาดไม่ค่อยสวยนะครับ แต่แบ่งครึ่งมุมชัวร์เป๊ะ) ว่าแต่เส้นมัธยฐานนี่คือเส้นที่ลากไปแบ่งครึ่งด้านไม่ใช่หรอครับ (ไม่เกี่ยวกับการสร้างวงกลมแนบนอกแนบใน) จะเห็นว่า 1ใน 3 ของเส้นแบ่งครึ่งมุม(สีน้ำเงิน) ยาวกว่าหรือเท่ากับรัศมี(สีแดง)

[God Phoenix]

อ่า...ครับ ผมเข้าใจว่ายาวกว่า แต่ส่วนน้ำเงินนั้น
มันไม่ใช่หนึ่งในสามของเส้นแบ่งครึ่งมุมหนิครับ