โจทย์ลักษณะนี้มีวิธีการทำอย่างไร

[khlongez]

กำหนดให้ $x,y,z,t$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ $x,y,z\in [4,9]$

จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ $(100x)^2+(10y)^2+z^2 = t^2$



โจทย์ข้อนี้มี 4 คำตอบคือ
$x = 8 , y = 8 , z = 4 , t = 804$
$x = 8 , y = 8 , z = 4 , t = -804$
$x = 4 , y = 8 , z = 8 , t = 408$
$x = 4 , y = 8 , z = 8 , t = -408$
ที่รู้คำตอบเพราะใช้โปรแกรมแก้ให้

แต่อยากทราบว่ามีวิธีคิดยังไง (ที่ไม่ใช่การไล่แทนค่าx,y,zไปเรื่อยๆจนครบ216ตัว)

[Amankris]

อาจจะต้องพิสูจน์ให้ได้ว่า $|t|=100x+z$

[khlongez]

^
ลองทำแบบย้อนกลับดู

จาก $|t| = 100x+z$ จะได้ $t^2 = (100x)^2 + 200xz + z^2$

ดังนั้น $(100x)^2 + 200xz + z^2 = (100x)^2 + (10y)^2 + z^2$ >>>> $2xz = y^2$

แปลว่าถ้าเราจะพิสูจน์ให้ได้ว่า $|t| = 100x+z$ ก็ต้องเริ่มจากการอ้างว่า $2xz = y^2$ ก่อน

แล้วเหตุผลที่ทำให้ $2xz = y^2$ คืออะไร? รบกวนผู้รู้ชี้แนะด้วย

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ khlongez

กำหนดให้ $x,y,z,t$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ $x,y,z\in [4,9]$

จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ $(100x)^2+(10y)^2+z^2 = t^2$



โจทย์ข้อนี้มี 4 คำตอบคือ
$x = 8 , y = 8 , z = 4 , t = 804$
$x = 8 , y = 8 , z = 4 , t = -804$
$x = 4 , y = 8 , z = 8 , t = 408$
$x = 4 , y = 8 , z = 8 , t = -408$
ที่รู้คำตอบเพราะใช้โปรแกรมแก้ให้

แต่อยากทราบว่ามีวิธีคิดยังไง (ที่ไม่ใช่การไล่แทนค่าx,y,zไปเรื่อยๆจนครบ216ตัว)

ลองหาดูในหนังสือ สอวน ทฤษฎีจำนวน มีอยู่ครับ ถ้าไม่มี เดี๋ยวแสดง hint ให้

[khlongez]

^

ไม่มีหนังสืออ่าค่ะ อิอิ รบกวนด้วยน้า

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ khlongez

^
ลองทำแบบย้อนกลับดู

จาก $|t| = 100x+z$ จะได้ $t^2 = (100x)^2 + 200xz + z^2$

ดังนั้น $(100x)^2 + 200xz + z^2 = (100x)^2 + (10y)^2 + z^2$ >>>> $2xz = y^2$

แปลว่าถ้าเราจะพิสูจน์ให้ได้ว่า $|t| = 100x+z$ ก็ต้องเริ่มจากการอ้างว่า $2xz = y^2$ ก่อน

แล้วเหตุผลที่ทำให้ $2xz = y^2$ คืออะไร? รบกวนผู้รู้ชี้แนะด้วย

ผมว่าอันนี้ก็น่าจะไปต่อได้แล้วนะ เราสรุปว่า $2xz = y^2$ ได้แล้ว

[khlongez]

^
แบบนั้นมันก็งูกินหางสิคะ

จาก $|t| = 100x+z$ ทำให้เราสรุปได้ว่า $2xz = y^2$

อ้าว ! แล้วเหตุผลที่ทำให้ $|t| = 100x+z$ คืออะไรล่ะ?

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ khlongez

^
แบบนั้นมันก็งูกินหางสิคะ

จาก $|t| = 100x+z$ ทำให้เราสรุปได้ว่า $2xz = y^2$

อ้าว ! แล้วเหตุผลที่ทำให้ $|t| = 100x+z$ คืออะไรล่ะ?

เอางี้ครับ $100x^2 + 10y^2+z^2 = t^2$
จัดรูป LHS. จะได้เป็น $(10x+z)^2 = 100x^2+10y^2+z^2 = t^2$

จะได้ว่า $10y^2 = 20xz , y^2 = 2xz $ จะได้ $y$ เป็นจำนวนคู่
$y = 4 , xz =8$ แต่ $xz \geqslant 16$
$y= 6 , xz=18$ ไม่สอดคล้อง
$y=8 , xz = 32$ จะได้ $(x,z)= (4,8) , (8,4)$

[khlongez]

^
คือเราก็ทำคล้ายๆกับคุณMetamorphosisได้ตั้งแต่ตอนที่คุณAmankrisแนะว่าต้องพิสูจน์$|t| = 100x+z$แล้วอ่าค่ะ

จากโจทย์ จัดรูป $LHS.$ ได้ $(100x+z)^2+100(y^2-2xz) = t^2$

เนื่องจาก __________________________ ดังนั้น $y^2 - 2xz = 0 $ ____(1)

จากสมการ(1) $y^2=2xz$ จะได้ $y$ เป็นจำนวนคู่

$y=4,xz=8$ แต่ $xz≥16$

$y=6,xz=18$ ไม่สอดคล้อง

$y=8,xz=32$ จะได้ $(x,z)=(4,8),(8,4)$

ที่เราสงสัยก็คือจะเติมคำลงในช่องว่างสีแดงว่าอะไร?

[Amankris]

คุ้นๆเหมือนเคยเจอในหว้ากอ L I N K

แต่ก็ยังใช้วิธีแอบเนียนเหมือน #8 อยู่นะ

[khlongez]

ตอนนี้ยอมแพ้แล้ว สงสัยข้อนี้คงไม่มีวิธีแก้ที่ดีกว่าไล่ให้ครบทุกกรณีจริงๆ

[Amankris]

คุณ khlongez น่าจะลำดับผิดแล้วครับ

เราต้องพิสูจน์ว่า $|t|=100x+z$ ก่อน ค่อยสรุป $y^2=2zx$ นะครับ