#1
|
||||
|
||||
ตรีโกณครับ
$ 1.จงหาค่าของ cos42^{\circ} sin168^{\circ} sin306^{\circ} $
$ 1. \frac{-1}{8} 2.\frac{1}{8} 3.\frac{-1}{4} 4.\frac{1}{4}$ $ 2. จงหาค่าของ tan20^{\circ} tan40^{\circ} tan80^{\circ} $ $ 3. จำนวนคำตอบของ สมการ arccos(cos\theta ) = arcsin(sin6\theta ) , 0 \leqslant \theta $ $ \leqslant \pi $ $ 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6 $ $ 4. ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด $ $ ก. กำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC มี a,b,c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A,B,C จะได้ว่า$ $ \frac{1+cos(A-B)cosC}{1+cos(A-C)cosB} = \frac{a^2+b^2}{a^2+c^2} $ $ ข. a,b,c \in R , a^2 + b^2 \not= c^2 , a^2 + b^2 \not= 0 $ $ หาก A,B \in [ 0,2\pi ) , A \not= B เป็นคำตอบของสมการ(ตัวแปร X) acosx + bcosx = c จะได้ว่า $ $ cos^2(\frac{A-B}{2}) = \frac{c^2}{a^2+b^2}$ $ 5. arcsec\sqrt{x^2+1} + arcsec\sqrt{x^2+2x+2} = arccos(-1) + arctan(-1) $ $ ผลบวกคำตอบเท่ากับเท่าไร$ $ 1. -1 2. 1 3. 2 4. 3 $ $ 6. สามเหลี่ยม ABC มี BC = 10 ความยาวรอบรูปเท่ากับ 36 ถ้า AC=b , AB=c $ $ จงหาค่าของ b^2sin2C + c^2sin2B$ $ 1.24\sqrt{bc+144} $ $ 2.48\sqrt{bc+144} $ $ 3.24\sqrt{bc -144}$ $ 4.48\sqrt{bc -144} $ 18 กันยายน 2011 14:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ CHAOS |
#2
|
||||
|
||||
แปลงทุกค่าเป็นฟังก์ชันโคไซน์ให้หมด จากนั้นจับคู่ แล้วใช้สูตร $2\cos A \cos B = ...$ แล้วแทนค่า $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$
|
#3
|
||||
|
||||
จขกท.ถามทีละจุดดีกว่าไหม
|
#4
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$ = \frac{2-2cos(A+B)cos(A-B)}{2-2cos(A+C)cos(A-C)} $ $ = \frac{2-(cos2A+cos2B)}{2-(cos2A+cos2C)} $ $ = \frac{2-(1-sin^2A+1-sin^2B)}{2-(1-sin^2A+1-sin^2B)} $ $ = \frac{sin^2A+sin^2B}{sin^2A+sin^2C} $ จาก Law of sine จะได้ $ = \frac{a^2k^2+b^2k^2}{a^2k^2+a^2c^2} $ $ =\frac{a^2+b^2}{a^2+c^2} $ = R.S. |
#5
|
||||
|
||||
ข้อ 6. คิดได้ 4.
สิ่งที่โจทย์ถามคือ 4 เท่าของพื้นที่สามเหลี่ยม พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ$\frac{1}{2}bc \sin A $ ลองคิดเองก่อนก็ได้ จากสูตรของcosine กับ sine จะได้ค่า $c\sin B-b \sin C=0$........(1) $c \cos B-b \cos C=\frac{c^2-b^2}{10} $..........(2) จับ(1)คูณกับ(2) แล้วแปลงให้ $\sin(B+C)= \sin A$ สิ่งที่โจทย์ถาม $b^2 \sin 2C+c^2 \sin 2B- =2bc \sin A$ แล้วเทียบกับสูตรพื้นที่สามเหลี่ยมของHeronก็จะได้คำตอบ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#6
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
#7
|
||||
|
||||
ข้อ 2....ทำได้ 2แบบ
แบบที่1 $\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ$ $=\frac{\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ} $ $=\frac{\sin 80^\circ (\cos 20^\circ - \cos 60^\circ)}{\cos 80^\circ (\cos 20^\circ + \cos 60^\circ)} $ $=\frac{2\sin 80^\circ \cos 20^\circ-2\sin 80^\circ \cos 60^\circ}{2\cos 80^\circ \cos 20^\circ+2\cos 80^\circ \cos 60^\circ} $ $=\frac{\sin 100^\circ+\sin 60^\circ-\sin 80^\circ}{\cos 100^\circ+\cos 60^\circ+\cos 80^\circ} $ $\sin 100^\circ =\sin80^\circ,\cos 100^\circ= -\cos 80^\circ$ $=\frac{\sin 60^\circ}{\cos60^\circ} $ $=\tan 60^\circ = \sqrt{3} $ แบบที่ 2....มันมีสูตรว่า $\tan (60-x)^\circ \tan x^\circ \tan (60+x)^\circ= \tan 3x^\circ $ แทน $x=20^\circ$ $\tan (60-20)^\circ \tan20^\circ \tan (60+20)^\circ= \tan (3\times 20)^\circ$ $\tan 40^\circ \tan 20^\circ \tan 80^\circ = \tan 60^\circ = \sqrt{3} $
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#8
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ให้ $arcsec\sqrt{x^2+1}=A \rightarrow \sec A=\sqrt{x^2+1} ,\cos A=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} ,\sin A=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $ $arcsec\sqrt{x^2+2x+2}=B \rightarrow \sec B=\sqrt{x^2+2x+2} ,\cos B=\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}} ,\sin B=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}$ $arccos(-1)=C \rightarrow \sin C=0, \cos C=-1$ $arctan(-1)=D \rightarrow \sin D=-\frac{1}{\sqrt{2} } , \cos D=\frac{1}{\sqrt{2} }$ จับสมการมาใ่ส่ฟังก์ชั่นของ cos เพราะที่โจทย์กำหนดก็คือมุมทั้งสี่ค่า $\cos(arcsec\sqrt{x^2+1} + arcsec\sqrt{x^2+2x+2})= \cos (A+B)$ $=\frac{1-x-x^2}{\sqrt{(x^2+1)(x^2+2x+2)} } $ $\cos (arccos(-1) + arctan(-1))= \cos (C+D) = -\frac{1}{\sqrt{2} }$ $\frac{1-x-x^2}{\sqrt{(x^2+1)(x^2+2x+2)} }= -\frac{1}{\sqrt{2} }$ $2(x^2+x-1)^2=(x^2+1)(x^2+2x+2)$ $x^4+2x^3-5x^2-6x=0$ $x(x+1)(x+3)(x-2)=0$ $x= 0,-1,-3,2$ ค่าที่ใช้ได้คือ $x=-3,2$ ผลรวมของคำตอบเท่ากับ $-1$
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 22 กันยายน 2011 14:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#9
|
||||
|
||||
#8
$arcsec\sqrt{x^2+1}=A \rightarrow \sec A=\sqrt{x^2+1} ,\cos A=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} ,\sin A=\frac{\left|x\right| }{\sqrt{x^2+1}} $ $arcsec\sqrt{x^2+2x+2}=B \rightarrow \sec B=\sqrt{x^2+2x+2} ,\cos B=\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}} ,\sin B=\frac{\left|x+1\right|}{\sqrt{x^2+2x+2}}$ $\cos (A+B)=\frac{1-\left|x\right|\left|x+1\right|}{\sqrt{(x^2+1)(x^2+2x+2)} }= -\frac{1}{\sqrt{2} }$ เวลาแก้สมการไม่น่าจะง่าย ดังที่คุณหมอทำมาครับ แต่คำตอบได้ออกมาถูก อาจเป็นเพราะยกกำลังสองเข้าไปทำลายค่าสัมบูรณ์ แต่จริง ๆ ก็ไม่ได้ยกกำลังสองแค่ครั้งเดียว แต่ถ้าแปลงโจทย์เป็น $arctan\left|x\right| +arctan\left|x+1\right|=\frac{3\pi}{4} $ ผมว่าน่าจะแก้สมการง่ายกว่าครับ 22 กันยายน 2011 16:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ lek2554 เหตุผล: พิมพ์ผิด |
#10
|
||||
|
||||
เห็นด้วยตามที่พี่เล็กว่า ผมลืมเช็คโดเมนกับเรนจ์ของอินเวอร์สฟังก์ชั่นตรีโกณ
ผมขอแก้ใช้ $\left|\,x\right| =\sqrt{x^2} $ กับ $\left|\,x+1\right| =\sqrt{(x+1)^2} $ $\frac{1-\sqrt{x^2(x+1)^2}}{\sqrt{(x^2+1)(x^2+2x+2)} }=-\frac{1}{\sqrt{2} } $ $2(1+(x^2(x+1)^2)-2\sqrt{x^2(x+1)^2})=x^4+2x^3+3x^2+2x+2$ $2+2(x^4+2x^3+x^2)-4\left|\,x(x+1)\right|=x^4+2x^3+3x^2+2x+2 $ $x^4+2x^3-x^2-2x= 4\left|\,x(x+1)\right|$ $x(x-1)(x+1)(x+2)=4\left|\,x(x+1)\right|$ ผมไม่ยกกำลังสอง เพราะน่าจะติดกันวุ่นวาย ใช้นิยามของค่าสัมบูรณ์ ด้วยการแยกเป็นช่วงๆ 1.$x>0$ $x(x-1)(x+1)(x+2)=4x(x+1)$ $(x-1)(x+2)=4$ $x^2+x-6=0$ $x=-3,2$ เหลือแค่ $x=2$ 2.$-1<x<0$ $x(x-1)(x+1)(x+2)=-4x(x+1)$ $(x-1)(x+2)=-4$ $x^2+x+2=0$ ค่า $x$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน 3.$x<-1$ $x(x-1)(x+1)(x+2)=4x(x+1)$ $(x-1)(x+2)=4$ $x^2+x-6=0$ $x=-3,2$ เหลือแค่ $x=-3$ ค่า$x=0,-1$....ก็ทำให้สมการ$x(x-1)(x+1)(x+2)=4\left|\,x(x+1)\right|$ เป็นจริง ลองแทนค่ากลับไป$x=0,-3,2,-1$ $\frac{1-\sqrt{x^2(x+1)^2}}{\sqrt{(x^2+1)(x^2+2x+2)} }=-\frac{1}{\sqrt{2} } $ มีค่าที่เป็นจริงคือ $x=2,-3$
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 26 กันยายน 2011 11:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 8 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#11
|
||||
|
||||
ผมทำแบบนี้ครับ
$arcsec\sqrt{x^2+1} + arcsec\sqrt{x^2+2x+2} = arccos(-1) + arctan(-1) $ $arctan\left|x\right| +arctan\left|x+1\right|=\pi -\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4} $ $tan(arctan\left|x\right| +arctan\left|x+1\right|)=tan\frac{3\pi}{4} $ $\dfrac{|x|+ |x+1|}{1-|x||x+1|} =-1$ $|x|+ |x+1|-|x||x+1|+1=0$ $x<-1;\quad\quad-x-x-1-x(x+1)+1=0\rightarrow x^2+3x=0\rightarrow x=-3,0\rightarrow x=-3$ $-1\leqslant x\leqslant 0;-x+x+1+x(x+1)+1=0\rightarrow x^2+x+2=0\rightarrow x\in \phi $ $x> 0;\quad\quad\quad x+x+1-x(x+1)+1=0\rightarrow x^2-x-2=0\rightarrow x=-1,2\rightarrow x=2$ $\therefore x=-3,2$ ตรวจสอบคำตอบแล้วใช้ได้ทั้ง 2 ค่า |
#12
|
||||
|
||||
วิธีของพี่เล็กง่ายกว่าครับ....
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
|
|