การบ้านพีชคณิตช่วยหน่อยนะ

[nil]

1. ให้ G เป็นกรุป และ H < G จงแสดงว่า สำหรับทุก x\in G, x-1Hx เป็นกรุปย่อยของ G ที่มี
จำนวนเชิงการนับเท่ากันกับ H

2. ถ้า a,b เป็นสมาชิกใด ๆ ในกรุปG จงแสดงว่า ab และba มีอันดับเท่ากัน


3. ให้ g :G\rightarrow G' เป็นกรุปสาทิสสัณฐาน และ ให้ a\in G จงพิสูจน์ว่า o(g(a)) | o(a) และ ถ้า g
เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แล้ว o(g(a)) = o(a)

4. จงพิสูจน์ว่า กรุปการคูณของรากที่ n ทั้งหมดของสมาชิกหน่วยเป็นกรุปวัฏจักรอันดับ n


5. จงหาเซตของตัวก่อกำเนิดของกรุปย่อยอันดับ 3, 4 และ 12 ของ Z12

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nil

1. ให้ $G$ เป็นกรุป และ $H < G$ จงแสดงว่า สำหรับทุก $x\in G, x^{-1}Hx$ เป็นกรุปย่อยของ $G$ ที่มี
จำนวนเชิงการนับเท่ากันกับ $H$

2. ถ้า $a,b$ เป็นสมาชิกใด ๆ ในกรุป $G$ จงแสดงว่า $ab$ และ $ba$ มีอันดับเท่ากัน

3. ให้ $g :G\rightarrow G'$ เป็นกรุปสาทิสสัณฐาน และ ให้ $a\in G$ จงพิสูจน์ว่า $o(g(a)) | o(a)$ และ ถ้า $g$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แล้ว $o(g(a)) = o(a)$

4. จงพิสูจน์ว่า กรุปการคูณของรากที่ $n$ ทั้งหมดของสมาชิกหน่วยเป็นกรุปวัฏจักรอันดับ $n$

5. จงหาเซตของตัวก่อกำเนิดของกรุปย่อยอันดับ $3, 4$ และ $12$ ของ $\mathbb{Z}_{12}$

1. ไล่นิยามการเป็น subgroup ครับ

แสดงว่า $f(h)=x^{-1}hx$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงที่ส่งจาก $H$ ไปยัง $x^{-1}Hx$

2. ถ้า $(ab)^n=e$ แสดงว่า $(ba)^n=e$ ด้วยโดยการแสดงว่า $ab=(ab)^{n+1}=a(ba)^nb$

3. ถ้า $a^n=e$ ใช้สมบัติของ homomorphism แสดงว่า $g(a)^n=e$ ด้วย

4. $e^{\frac{2\pi i}{n}}$ เป็น generator ของ group นี้

5. $\{\overline{4},\overline{8}\}$

$\{\overline{3},\overline{9}\}$

$\{\overline{1},\overline{5},\overline{7},\overline{11}\}$

[nil]

ขอบคุณมากค่ะ