สอบถามเรื่อง linear transformation ครับ

[Anupon]

ผมเจอโจทย์ linear transformation มาครับ

ข้อ 1)
$$ T:R^{2x2}\rightarrow R^{2x3} $$ where B = fixed 2x3 matrix and T(A)=AB for example $$ B=\bmatrix{1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1} $$

ข้อ2)
$$ T:R^{nxn}\rightarrow R $$ where T(A) = tr(A)

ข้อ3)
$$ T:R^{3x3}\rightarrow 1 $$ where T(A) = (1^T)A(1) , 1 is all-one vector, i.e., 1=(1 1 1)

คำถามนะครับ
ข้อ 1) ผมพิสูจน์ได้ว่าเป็น linear transformation นะครับ แต่ว่า ผมหา basis ของ Ker(T) กะ R(T) ไม่ได้อ่ะครับ (ผม ได้เมตริก A ที่ทำให้ T(A) เป็น 0 คือ matrix 0 อ่ะครับ ผมคิดถูกไหมครับ)

ข้อ 2) ผมพิสูจน์ได้ว่าเป็น linear transformation เช่นกันครับ แต่ ผมหา basis ของ Ker(T) กะ R(T) ไม่ได้อ่ะครับ รบกวนช่วยหน่อยครับ

ข้อ 3) ผมพิสูจน์ได้ว่าเป็น linear transformation อีกเช่นกันครับ แต่ dimenstions ของมันไม่ compatible กันอ่ะครับ อย่างนี้ถือว่าเป็น linear transformation ไหมครับ

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[nooonuii]

1. คิดถูกแล้วครับ

2. $R(T)=\mathbb{R}$ ส่วน $Ker(T)$ คือเซตของ matrix ที่มี trace zero หา basis ยากอยู่นะ

3. $T$ มันส่งไป $\mathbb{R}$ รึเปล่าครับ

[Anupon]

ขอบคุณมากๆครับ

ข้อ1) ช่วยแนะนำการหา R(T) หน่อยได้ไหมครับ ผมอยากรู้ว่าผมหาถูกหรือเปล่าอะครับ
- ผมได้ R(T) เป็นทั้ง space ของ R2x3 เลยอ่ะครับ ก็เลย งงๆ เกี่ยวกับการหา dimension ของมันอ่ะครับ

[nooonuii]

http://math.stackexchange.com/questi...s-with-trace-0

คำตอบของข้อ $2$ ครับ

[Anupon]

ขอบคุณมากๆครับ