metrix

[sim2000]

ถามนะครับ
ถ้า มี metrix จำนวนจริง A ขนาด m x n เขียนแทนด้วย A
จะสามารถหา metrix จำนวนจริง B ขนาด nxm ซึ่งมีคุณสมบัติ ABA = A ได้เสมอจริงหรือไม่
ไม่ว่าเมทริก A จะเป็น invertible หรือไม่

พิสูจน์ได้หรือป่าวครับ ว่าจริงหรือไม่จริง

ที่ลองคิดดูนะครับ
1. ถ้า A หา อินเวอร์ทได้

จะได้ B = A^{-1}

จาก ABA = A
\BA = I
B = A^{-1}

2. ถ้า A หาอินเวอร์ทไม่ได้
2.1 A อยู่ในรูป
a b c d ...
na nb nc nd......
ma mb mc md ......
.
.
.

จะมี B อย่างน้อย 1 ตัวในรูป

1/a 0 0 0 ......
0 0 0 0 ....
0 0 0 0.....
.
.
.

ส่วนกรณีอื่นยังคิดไม่ออกอ่า
คิดว่าจริงหรือป่าวครับ แล้วพิสูจน์ยังไงดี

[nooonuii]

matrix ขนาด mxn จะมี inverse ก็ต่อเมื่อ m=n และ det(A)น0 ครับ

[nongtum]

ก่อนอื่น ขอบ่นหน่อย อย่างที่คุณ Nooonuii บอก Matrix จะหาอินเวอร์สได้ (invertible) ต้องมีคุณสมบัติดังนี้
Invertible matrix
(อย่าสับสนกะ metric space หรือ Metric ที่เป็น International System of Units)
ศัพท์ทั้งสามตัว ไม่ได้เขียนว่า metrix (ซึ่งเท่าที่เรียนมายังไม่เคยเจอ)

สำหรับคำถามที่ถามมา จะขอตอบเป็นแนวทางคร่าวๆดังนี้
ให้ \((a_{ij})_{mn}=:A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) โดยที่ \(m\ne{}n\) เราต้องการหา \((b_{jk})_{nm}=:B \in \mathbb{R}^{n \times m}\) ที่ทำให้ \(ABA=A\)
เนื่องจาก (AB)A=A(BA) เราจะหา B ที่ \(AB=I_{m}\) หรือ \(BA=I_{n}\) อย่างใดอย่างหนึ่ง (จะแสดงเพียงกรณีแรก กรณีหลังทำคล้ายๆกัน)
สำหรับ \(AB=(a_{ik})_{mm} \in \mathbb{R}^{m \times m}\) จะได้
\[a_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}{}\ \ \ สำหรับ\ \ \ i,k=1,...,m\]
จากตรงนี้เราจะได้ระบบสมการซึ่งมีจำนวนสมการมากกว่าจำนวนตัวแปร หรือจำนวนตัวแปรมากกว่าสมการ (ลองคิดดูนะครับ) ซึ่งระบบสมการนี้หากไม่มีคำตอบ ก็มีคำตอบมากมาย แต่จะไม่มีคำตอบ unique เราจึงสรุปได้ว่าข้อสันนิษฐานไม่เป็นจริง
____________________________
(PS: คำตอบนี้ ได้มาหลังจากเปิดหนังสือ linear algebra ผ่านๆ หากใครพบที่ผิดหรืออยากเสริมอะไร ตามสบายเลยครับ

[sim2000]

นั่นมันต้องแยกคิดกรณีไม่ใช่เหรอครับ
กรณีที่ A หา Invert ได้ จะได้ BA = I
แต่ในกรณีที่ A หา Invert ไม่ได้ BA ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ I ครับ คือ อาจจะมี BA ที่ไม่ใช่ I ที่
ABA = A
เช่น A = 1 2
2 4

จะได้ B ตัวนึงแน่นอนคือ 1 0
0 0
ซึ่ง BA = 1 2
0 0

จะได้ ABA = 1 2
2 4

จาก A ไม่มี Invert และ BA ไม่ได้เท่ากับ I
แต่มี ABA = A ได้ครับ

อยากพิสูจน์ครับว่า จะหาเมทริก B จาก เมทริกจำนวนจริง A ทุกเมทริกที่
ABA = A ได้หรือไม่ครับ