หรม.!!!

[กระบี่ทะลวงด่าน]

จงหา $(30!+1,31!+1)$ จงหา $x,y \in \mathbb{Z}$ ที่ $(30!+1,31!+1)=(30!+1)x+(31!+1)y$

[Real Matrik]

$$(30!+1,31!+1)=(30!+1,31!+1-(30!+1))=(30!+1,30\cdot30!)=(30!+1,30)=1$$
เนื่องจาก $(30!+1,30!)=1$ และ $(30!+1,30)=1$
เพราะว่า $30!+1$ เป็นเลขคี่ เลยได้ว่า $(30!+1,30)=1,3$
แต่ $3$ หาร $30!+1$ ไม่ลงตัว เลยได้ว่า $(30!+1,30)=1$
ต่อไปจะหา $x,y$ ในส่วนของคำถามหลัง

$$(30!+1,31!+1)=(30!+1)x+(31!+1)y$$
$$(30!+1)x-1=-(31!+1)y$$
นั่นคือ (วิธีการปกติทำไงผมก็ไม่ทราบแล้ว )
$$(30!+1)x\equiv1\pmod{31!+1}$$
$$31(30!+1)x\equiv31\pmod{31!+1}$$
$$(31!+1)x+30x\equiv31\pmod{31!+1}$$
$$30x\equiv31\pmod{31!+1}$$
สังเกตว่า $30$ หาร $31!$ ลงตัว เลยได้ไปต่อว่า
$$30x\equiv31+29(31!+1)\pmod{31!+1}$$
แต่ $(30,31!+1)=1$ ได้ว่า
$$x\equiv2+29\cdot31\cdot29!\pmod{31!+1}$$

ส่วนค่า $y$ ก็หาแนวเดียวกันครับ

[nooonuii]

ใช้ Euclidean algorithm ครับ

$31!+1=30(30!+1)+(30!-29)$

$30!+1=1(30!-29)+30$

$30!-29=(29!-1)30+1$

ทำย้อนกลับก็จะได้

$1=29!(31!+1)+(1-29!-30!)(30!+1)$