เรื่องเรขาคณิตครับ

[oaty555]

1. $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวด้านละ 1 หน่วย $P$ เป็นจุดบน $AB$, $Q$ เป็นจุดบน $AD$ ทำให้ความยาวเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม $PAQ$ เป็น 2 หน่วย
ขนาดของมุม $PCQ$ เท่ากับเท่าไร

ขอวิธีทำหน่อย นะครับ

[banker]

รอเทพมาตอบ เทพก็ไม่มา

ดูรูปไปก่อน แล้วหาทางพิสูจน์ ทำต่อเองนะครับ

ตอบ มุม $PCQ =45$


เริ่มจากแบ่ง $PQ$ ที่จุด $R$ ทำให้ $RP=PB, RQ=QD$
(จะได้เส้นรอบรูป $APQ = 2 = AD+AB$)

ลากเส้นต่างๆตามรูป

ใช้คุณสมบัติเท่ากันทุกประการของสามเหลี่ยม
.
.
.
สุดท้ายได้ $x+y= 45$ องศา

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

รอเทพมาตอบ เทพก็ไม่มา

ดูรูปไปก่อน แล้วหาทางพิสูจน์ ทำต่อเองนะครับ

ตอบ มุม $PCQ =45$

Attachment 2326
เริ่มจากแบ่ง $PQ$ ที่จุด $R$ ทำให้ $RP=PB, RQ=QD$
(จะได้เส้นรอบรูป $APQ = 2 = AD+AB$)

ลากเส้นต่างๆตามรูป

ใช้คุณสมบัติเท่ากันทุกประการของสามเหลี่ยม
.
.
.
สุดท้ายได้ $x+y= 45$ องศา

ไม่ได้เป็นเทพครับ แต่ถ้าให้เป็นคนเกเร ก็พอไหว จะมาบอกว่าคำตอบ ถูก แต่วิธีพิสูจน์ผมว่ามันแปลกๆ ครับ เช่น รู้ได้อย่างไร ว่า RB ตั้งฉากกับ PC หรือ RD ตั้งฉากกับ QC

[Siren-Of-Step]

ผมไปถามเพื่อนมาครับ เพื่อน บอกว่าใช้การหมุน กับความเท่ากันทุกประการ

[SolitudE]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ไม่ได้เป็นเทพครับ แต่ถ้าให้เป็นคนเกเร ก็พอไหว จะมาบอกว่าคำตอบ ถูก แต่วิธีพิสูจน์ผมว่ามันแปลกๆ ครับ เช่น รู้ได้อย่างไร ว่า RB ตั้งฉากกับ PC หรือ RD ตั้งฉากกับ QC

คือผมไม่เข้าใจเรื่องของมุมด้วยครับ จะมีใครอธิบายได้บ้าง - -

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ไม่ได้เป็นเทพครับ แต่ถ้าให้เป็นคนเกเร ก็พอไหว จะมาบอกว่าคำตอบ ถูก แต่วิธีพิสูจน์ผมว่ามันแปลกๆ ครับ เช่น รู้ได้อย่างไร ว่า RB ตั้งฉากกับ PC หรือ RD ตั้งฉากกับ QC

ผมคิดว่าคุณ banker คงจะคิดเพลินจนได้รูปสุดท้าย ก็เลยตอบตามรูปสุดท้ายที่คิดอะครับ

ผมเลยวาดแนวคิดมาให้ดูเล่นๆ (จะทำให้ทราบว่ารูปที่คุณ banker ลงไม่ได้ผิดนะครับ)

[หยินหยาง]

ผมคิดอยู่แล้วว่าถ้าคุณ banker ไม่รีบมาแก้ถ้าให้คุณ Puriwatt เห็นก่อนละก็เสร็จทุกที อันที่จริงโจทย์ข้อนี้สามารถพิสูจน์ได้หลายวิธีและนี่ก็เป็นวิธีหนึ่ง และไม่ต้องแสดงรูปอย่างที่คุณ banker โดยลากเส้นตั้งฉาก RB กับ PC หรือ RD ตั้งฉากกับ QC ที่แสดงไว้ ก็พิสูจน์ได้ ผมถึงบอกว่าวิธีการพิสูจน์ของคุณ banker ดูแปลกๆ สำหรับโจทย์ข้อนี้ ถ้าคนเคยทำโจทย์ลักษณะนี้ก็จะไม่มีปัญหาเลย โจทย์ดั้งเดิมที่เคยเจอรู้สึกว่าจะเป็นแบบในรูปที่คุณ Puriwatt วาดมาแล้วลากเส้นสัมผัสกับวงกลมแล้วให้พิสูจน์ว่าเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมจะยาวเป็น 2 เท่าของด้านสี่เหลี่ยมจัตุรัส ถ้าเป็นแบบนี้ ก็จะเป็นโจทย์ที่ดูแล้วง่ายทันที ลองดูครับว่าโจทย์ข้อนี้ถ้าจะพิสูจน์โดยตรีโกณมิติจะทำอย่างไร ฝากไว้สำหรับคนชอบคิดครับ คุณ Puriwatt มาตอบแต่ละทีต้องบอกว่า ไม่ผิดหวังครับ

[oaty555]

ขอบคุณมาก สำหรับคำแนะนำจากท่านเทพทั้งหลาย
นะครับ

[oaty555]

ถามต่อ รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มี $AB=AC $และมุม BAC กาง 100 องศา สร้างจุด D บน BC ลาก DE ไป AC ทำให้ $CE=CD $ ลาก CF ไป AB ทำให้ DF ขนานกับ AC จงหามุม DFC

ช่วยชี้แนะด้วย

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ oaty555

ถามต่อ รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มี $AB=AC $และมุม BAC กาง 100 องศา สร้างจุด D บน BC ลาก DE ไป AC ทำให้ $CE=CD $ ลาก CF ไป AB ทำให้ CF DF ขนานกับ AC จงหามุม DFC

ช่วยชี้แนะด้วย

รู้สึกจะลอกโจทย์มาผิด (ตรงสีแดง)



พิสูจน์แบบม.ต้น ไม่ใช้ตรีโกณ

ลาก FG ขนาน BC
จะได้ AFG เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ที่มีมุม FAG = 100 องศา



และจะได้ FGCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
จะได้ FG = CD ......(1)

ลาก AD
จากโจทย์ AC = CD ---> สามเหลี่ยม ACD เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ดังนั้น AC = DC = FG ...(2)



สร้างสามเหลี่ยมด้านเท่า ACP โดยใช้ AC เป็นหนึ่งด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า

จะได้ AC = AP = FG ( AC = FG จาก ...(2))



จะได้สามเหลี่ยม AFG เท่ากันทุกประการกับ สามเหลี่ยม AFP (ดมด) (AG=AF หน้าจั่ว, มุม 40 องศา, FG=AP จาก(2))

จะได้ AF = FP และ FC = FC

ทำให้ สามเหลี่ยม AFC เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม FCP (ดดด)

ดังนั้นมุม ACF = มุม FCP = 30 องศา (มุมACP = 60 องศา ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่สร้างขึ้น)

สี่เหลี่ยมขนาน FGCD ---> มุมGCF = 30 องศา = มุมDFC (มุมแย้ง)

ดังนั้นมุม DFC = 30 องศา Q.E.D.

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ oaty555

ถามต่อ รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มี $AB=AC $และมุม BAC กาง 100 องศา สร้างจุด D บน BC ลาก DE ไป AC ทำให้ $CE=CD $ ลาก CF ไป AB ทำให้ CF ขนานกับ AC จงหามุม DFC

ช่วยชี้แนะด้วย

ผมก็นั่ง โง่ ตั้งนาน

[oaty555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ผมก็นั่ง โง่ ตั้งนาน

เช่นกันครับ


ปล. ต้อง ขอบคุณ คุณ banker อีกครั้ง เป็นอย่างสูง

[SolitudE]

ใช้ความคิดลึกล้ำดีครับ ผมก็มีโจทย์จะถามครับ แต่ลืมไปแล้วว่ามันอยู่เล่มไหน - -

[[FC]_Inuyasha]

ข้อสอบมหิดลเก่าหนิครับข้อ2.
แนวคิดสุดยอดครับ อยากมีแนวคิดทางเรขาคณิต ดีๆเหมือนพี่ bankerจัง