ตรีโกณมิติ ผลคูณของไซน์

[PURE MATH]

เอาโจทย์สวยๆมาฝากครับ

[gon]

เนื่องจาก $\sin \frac{\pi}{2m} \cdot \sin \frac{2\pi}{2m} ... \sin \frac{(m-1)\pi}{2m} = \frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}$

ดังนั้นเมื่อแทน $m =45$ จะได้ $L.H.S. = \frac{3\sqrt{5}}{2^{44}} \Rightarrow p = 2^6\times 3$

[PURE MATH]

คำตอบถูกนะครับ แต่ช่วยอธิบายตรงเอกลักษณ์หน่อยได้มั้ยครับ

[Suwiwat B]

ไม่รู้ถูกหรือเปล่าเเต่ผมขอเริ่มจาก ให้ $a = cos\frac{2\pi}{n} + isin\frac{2\pi}{n}$
พิจารณารากของสมการ $x^n - 1 = 0$
$(x-1)(x^{n-1} + x^{n-2}+...+x+1) = 0$
จะได้ว่า $1,a,a^2,...,a^{n-1}$ เป็นรากของสมการนี้
ทำให้ได้ว่า $x^{n-1} + x^{n-2}+...+x+1 = (x-a)(x-a^2)...(x-a^{n-1})$
เเทน $x=1$ ทำให้ได้ว่า $n = (1-a)(1-a^2)...(1-a^{n-1})$
$|1-a||1-a^2|...|1-a^{n-1}| = n$
พิจารณา $|1-a^x| = 2sin\frac{x\pi}{n}$
จะได้ว่า $sin\frac{\pi}{n}sin\frac{2\pi}{n}sin\frac{3\pi}{n} ...sin\frac{(n-1)\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}$
เเทนค่า $n$ ด้วย $2m$
$sin\frac{\pi}{2m}sin\frac{2\pi}{2m}sin\frac{3\pi}{2m} ...sin\frac{(2m-3)\pi}{2m}sin\frac{(2m-2)\pi}{2m}sin\frac{(2m-1)\pi}{2m} = \frac{2m}{2^{2m-1}}$

จับคู่หน้าหลังให้ครบ จะเหลือ $sin\frac{(2m-m)\pi}{2m} = 1$ อันเดียวที่ไร้คู่

จะได้ $sin\frac{\pi}{2m}sin\frac{2\pi}{2m}sin\frac{3\pi}{2m} ...sin\frac{(m-1)\pi}{2m} = \frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}$

[gon]

ที่ผมใช้นะครับ ลองศึกษาจากตัวอย่างนี้

พิจารณาสมการ $6\theta = n\pi$ จะได้ว่า $\sin \theta = 0, 1, \pm \sin\frac{\pi}{6}, \pm \sin\frac{\pi}{3}$

แต่เนื่องจาก $\sin 6\theta = \binom{6}{1}\cos^5\theta \sin \theta - \binom{6}{3}\cos^3 \theta \sin^3 \theta + \binom{6}{5}\cos \theta \sin^5 \theta$
$= \sin \theta \cos \theta [\binom{6}{1}\cos^4 \theta - \binom{6}{3}\cos^2 \theta \sin^2 \theta + \binom{6}{5}\sin^4 \theta]$

$= \sin \theta \cos \theta [\binom{6}{1}(1-x^2)^2 - \binom{6}{3}(1-x^2)x^2 + \binom{6}{5}x^4]$

(เมื่อให้ $\sin \theta = x$)

แต่จาก $6\theta = n\pi$ จะได้ว่า $\sin 6\theta = \sin n\pi = 0$

ถ้าตัดกรณีที่ $\sin \theta = 0, 1$ ทิ้ง แสดงว่าสมการพหุนามกำลังสี่ $\binom{6}{1}(1-x^2)^2 - \binom{6}{3}(1-x^2)x^2 + \binom{6}{5}x^4 = 0 ... (*)$

จะมีรากของสมการเป็น $\sin^2 \frac{\pi}{6}$ กับ $\sin^2 \frac{\pi}{3}$

และจะเห็นว่า สัมประสิทธิ์ของ $x^4$ คือ $\binom{6}{1} + \binom{6}{3} + \binom{6}{5} = 2^{6-1} = 2^5$
และจะเห็นว่า สัมประสิทธิ์ของ $x^0$ คือ $\binom{6}{1}$

โดยความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์ จะได้ว่าผลคูณของรากของสมการ (*) เท่ากับ

$\sin^2 \frac{\pi}{6}\cdot \sin^2 \frac{\pi}{3} = \frac{6}{2^5} \Rightarrow \sin \frac{\pi}{6}\cdot \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{6}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

[PURE MATH]

ขอบคุณทุกท่านมากเลยครับ เก่งกันมากเลยครับ

[gon]

ถ้าเข้าใจแล้วก็ลองพิสูจน์เอกลักษณ์นี้ดูครับ

$\sin \frac{2\pi}{2m+1} \cdot \sin \frac{4\pi}{2m+1} \cdot \sin \frac{6\pi}{2m+1} ...\sin \frac{2m\pi}{2m+1}=\frac{\sqrt{2m+1}}{2^m}$