คณิตศาสตร์ กข 2537

[kurumi_00]

สัมประสิทธิ์ของ $x^{54}$ ในอนุกรม ${1+(1+x^2)+(1+x^2)^2+...+(1+x^2)^{50}}$ เท่ากับเท่าไหร่

[NAKHON]

จริงๆ แล้วผมไม่เก่งครับ แต่บังเอิญมีหนังสือ ลองอ่านดูนะครับ

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kurumi_00

สัมประสิทธิ์ของ $x^{54}$ ในอนุกรม ${1+(1+x^2)+(1+x^2)^2+...+(1+x^2)^{50}}$ เท่ากับเท่าไหร่

เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี 51 พจน์ อัตราส่วนร่วม $r = (1+x^2)$

$s_n = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1} = \frac{1[(1+x^2)^{51}-1]}{(1+x^2)-1} = \frac{(1+x^2)^{51}-1}{x^2}$

สัมประสิทธิ์ของ $x^{54}$ จะเท่ากับสัมประสิทธิ์ของ $x^{56}$ ของการกระจาย $(1+x^2)^{54}$

$T_{r+1} = \Sigma_{r=0}^{r=n}C(54, r)(1)^{54-r}(x^2)^r$

ดังนั้น 2r = 56 แล้ว r = 28 ซึ่งมีสัมประสิทธิ์คือ C(54, 28) หรือ C(54, 26)