ช่วยด้วยคร้าบบบบ

[Siren-Of-Step]

2. ถ้า$ N = 10^{296} ? 10^{259} + 10^{222} ? 10^{185} + 10^{148} ? 10^{111} + 10^{74} ? 10^{37} + 1$ และ $\dfrac{1}{N} = 0.\dot d_1d_2.....\dot d_m$
เป็นทศนิยมซ้ำ ซึ่งมีตัวเลขโดดซ้ำในแต่ละชุดน้อยที่สุด $m$ จำนวน แล้ว$ m$ มีค่าเท่าใด

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ผมช่วยข้อนี้แล้วคุณsiren of step ช่วยไปเฉลยในกระทู้ประถมหน่อยครับ
ผมว่ากำลังสร้างความสับสนกันพอสมควร okนะครับ
จาก$N$ที่โจทย์กำหนดเป็นสมการ(1)เอา$10^{37}$คูณตลอดแล้วจะได้สมการ(2)
เอา(1)+(2) จัดรูปได้ $(10^{37}+1)N=10^{333}+1$
หรือ$\frac{1}{N} =\frac{10^{37}+1}{10^{333}+1} $
ปัญหาคือจะเป็นทศนิยมซ้ำตัวส่วนควรเป็น 9999...9
สังเกตจาก $10^2+1=101$จะเป็น 9999เมื่อคูณด้วย 99
$10^3+1=1001$จะเป็น 999999เมื่อคูณด้วย 999
ดังนั้น$10^{333}+1=10......01$จะเป็น 999....9เมื่อคูณด้วย 9...9(มี9อยู่333ตัว)
ที่เหลือน่าจะไปต่อได้แล้วนะครับ

[Siren-Of-Step]

อีก3 ข้อครับ
1. ผลบวกอนุกรม $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{10}+.......+\dfrac{1}{4950} = ?$
2. ให้$ N = \dfrac{30!}{2^{26} * 5^7} $เศษที่เหลือจากการหาร$ N$ด้วย$10$ มีค่าตรงกับข้อใด
3. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม $2+\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8} + \dfrac{7}{16} +.... $เท่ากับเท่าไร


ขอด่วนคร้าบ พรุ่งนี้ไม่ว่างทั้งวันเลย T~T

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

1. ผลบวกอนุกรม $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{10}+.......+\dfrac{1}{4950} = ?$

$ \because \ \ 1+2+3+ ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

$\frac{1}{1+2+3+ ... + n } = \frac{1}{ \frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2}{n(n+1)} = 2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$ ....(*)



$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{10}+.......+\dfrac{1}{4950} = \dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+\dfrac{1}{1+2+3+4}+.......+\dfrac{1}{1+2+3+4+ ... + 99} $

$= 2(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + 2(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) + 2(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}) + ... + 2(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})$

$ = 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{100})$

$ = \frac{49}{50} \ \ \ Ans.$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

อี
3. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม $2+\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8} + \dfrac{7}{16} +.... $เท่ากับเท่าไร

$2+\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8} + \dfrac{7}{16} +.... = 5$

แต่ผลบวก n พจน์แรก รอเดี๋ยว ดูบอลก่อนครับ




พรุ่งนี้ต้องเดินทาง คงต้องนอนก่อนครับ ขออภัยด้วยครับ


มาทำต่อครับ

ให้ $ \ \ s = 2+\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8} + \dfrac{7}{16} +.... $


ให้ $ \ \ s = \dfrac{2}{2^0}+\dfrac{1}{2^1} + \dfrac{3}{2^2} + \dfrac{5}{2^3} + \dfrac{7}{2^4} +.... + \dfrac{2n-1}{2^n}$ ........(*)


$ \ \ 2s = \dfrac{2\times 2}{2^0}+\dfrac{1 \times2}{2^1} + \dfrac{3}{2^1} + \dfrac{5}{2^2} + \dfrac{7}{2^3} +....+ \dfrac{2n-1}{2^{n-1}}$

$ \ \ 2s =4+1 + \dfrac{3}{2^1} + \dfrac{5}{2^2} + \dfrac{7}{2^3} +....+ \dfrac{2n-1}{2^{n-1}}$ ..........(**)


(**) - (*) $ \ \ \ 3 + (\dfrac{2}{2^1} + \dfrac{2}{2^2} + \dfrac{2}{2^3} +...+ \dfrac{2}{2^{n-1}}) - \dfrac{2n-1}{2^n}$

$ = 3 +2(\dfrac{1}{2^1} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} +...+ \dfrac{1}{2^{n-1}} + \dfrac{1}{2^n}) - \dfrac{2n-1}{2^n} - \dfrac{2}{2^n} $ ......(***)



ให้ $m = \dfrac{1}{2^1} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} +...+ \dfrac{1}{2^{n-1}} + \dfrac{1}{2^n}$ .....(****)

$2m = 1 + \dfrac{1}{2^1} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} +...+ \dfrac{1}{2^{n-1}} + \dfrac{1}{2^{n-1}}$ .....(*****)

(****) - (***) $m = 1- \dfrac{1}{2^n} $

แทนค่า $m$ ใน (***)


$ = 3 +2(1- \dfrac{1}{2^n}) - \dfrac{2n-1}{2^n} - \dfrac{2}{2^n} $

$ =5 - \dfrac{2}{2^n} - \dfrac{2n-1}{2^n} - \dfrac{2}{2^n} $

$ = 5 - \dfrac{2n+3}{2^n}$

(หมายเหตุ อนุกรมเริ่มจาก n = 0)

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ 2 . นะครับ
ใช้สูตรของเลอจองค์ช่วยหาว่า 30! มี2 เป็นตัวประกอบอยู่กี่ตัวก่อนครับ
$\left\lfloor\frac{30}{2} \right\rfloor +\left\lfloor\frac{30}{4} \right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{8} \right\rfloor +\left\lfloor\frac{30}{16} \right\rfloor =15+7+3+1=26$
และ30! จะมี 5 เป็นตัวประกอบอยู่ 7 ตัว(จากสูตรของเลอจองค์เช่นกัน)
ดังนั้นหากเราแยกตัวประกอบทั้งหมดของ30!(ด้วยสูตรของเลอจองค์)
จะได้$30!= 2^{26}x3^{14}x5^{7}x7^{4}x11^2x13^2x17x19x23x29$
ดังนั้น $N=3^{14}x7^{4}x11^2x13^2x17x19x23x29$
$3^{14} ลงท้าย 9$
$7^4 ลงท้าย 1$
$11^2 ลงท้าย1 $
$13^2 ลงท้าย 9$
ดังนั้นN มีเลขลงท้ายจาก 9x1x1x9x7x9x3x9 = 1
ซึ่งก็คือเศษที่ได้จากการหารNด้วย 10 ครับ ตอบ 1

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$ \because \ \ 1+2+3+ ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

$\frac{1}{1+2+3+ ... + n } = \frac{1}{ \frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2}{n(n+1)} = 2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$ ....(*)



$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{10}+.......+\dfrac{1}{4950} = \dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+\dfrac{1}{1+2+3+4}+.......+\dfrac{1}{1+2+3+4+ ... + 99} $

$= 2(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + 2(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) + 2(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}) + ... + 2(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})$

$ = 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{100})$

$ = \frac{49}{50} \ \ \ Ans.$

ทำไมผมมองไม่ออก telescope sum

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

exp ไงครับ

[banker]

ข้อ 3. ครับ

ห้ $ \ \ s = 2+\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8} + \dfrac{7}{16} +.... $


ให้ $ \ \ s = \dfrac{2}{2^0}+\dfrac{1}{2^1} + \dfrac{3}{2^2} + \dfrac{5}{2^3} + \dfrac{7}{2^4} +.... + \dfrac{2n-1}{2^n}$ ........(*)


$ \ \ 2s = \dfrac{2\times 2}{2^0}+\dfrac{1 \times2}{2^1} + \dfrac{3}{2^1} + \dfrac{5}{2^2} + \dfrac{7}{2^3} +....+ \dfrac{2n-1}{2^{n-1}}$

$ \ \ 2s =4+1 + \dfrac{3}{2^1} + \dfrac{5}{2^2} + \dfrac{7}{2^3} +....+ \dfrac{2n-1}{2^{n-1}}$ ..........(**)


(**) - (*) $ \ \ \ 3 + (\dfrac{2}{2^1} + \dfrac{2}{2^2} + \dfrac{2}{2^3} +...+ \dfrac{2}{2^{n-1}}) - \dfrac{2n-1}{2^n}$

$ = 3 +2(\dfrac{1}{2^1} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} +...+ \dfrac{1}{2^{n-1}} + \dfrac{1}{2^n}) - \dfrac{2n-1}{2^n} - \dfrac{2}{2^n} $ ......(***)



ให้ $m = \dfrac{1}{2^1} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} +...+ \dfrac{1}{2^{n-1}} + \dfrac{1}{2^n}$ .....(****)

$2m = 1 + \dfrac{1}{2^1} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} +...+ \dfrac{1}{2^{n-1}} + \dfrac{1}{2^{n-1}}$ .....(*****)

(****) - (***) $m = 1- \dfrac{1}{2^n} $

แทนค่า $m$ ใน (***)


$ = 3 +2(1- \dfrac{1}{2^n}) - \dfrac{2n-1}{2^n} - \dfrac{2}{2^n} $

$ =5 - \dfrac{2}{2^n} - \dfrac{2n-1}{2^n} - \dfrac{2}{2^n} $

$ = 5 - \dfrac{2n+3}{2^n}$

(หมายเหตุ อนุกรมเริ่มจาก n = 0)