ถามเรื่องเมทริกซ์ผูกพันหน่อยครับ

[~ArT_Ty~]

$adj(A^{-1})=[adj(A)]^{-1}$ มั้ยอ่ะครับ ขอเหตุผลและคำอธิบายด้วยครับ

[gon]

เนื่องจาก $adj(A) = |A|A^{-1} ...(*)$
ดังนั้น $adj(A^{-1}) = |A^{-1}|(A^{-1})^{-1}$
หรือ $adj(A^{-1}) = \frac{1}{|A|}A$

จาก (*) จะได้ว่า
$[adj(A))]^{-1} = [ |A|A^{-1}]^{-1}$
ดังนั้น $[adj(A))]^{-1} = \frac{1}{|A|}(A^{-1})^{-1} = \frac{1}{|A|}A$

['' ALGEBRA '']

#2 ผมแจ่มแจ้งเลยคับ
หลายครั้งที่ผมเคยผ่านสนามสอบมานี้
ผมเห็นสมบัติของเมทริกซ์แปลกๆอยู่หลายหนเหมือนกัน
ผมว่าเราน่าจะหาอะไรที่มันแปลกๆมาถกกันนะคับน่าจะมีประโยชน์มากเลย
ผมจะพยายามหามานะคับ

[~ArT_Ty~]

จำเป็นหรือเปล่าครับที่ว่า $(A^{-1})^{-1}=A$ อ่ะครับ

['' ALGEBRA '']

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

จำเป็นหรือเปล่าครับที่ว่า $(A^{-1})^{-1}=A$ อ่ะครับ

$ให้ A=\bmatrix{a & b \\ c & d}$
$det(A)=ad-bc$
$A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right| } \bmatrix{d & -b \\ -c & a} จากบรรทัดนี้ถ้า det(A)=0ก้อจบกัน
ผมว่าต้องเพิ่มเงื่อนไขที่ว่าหาสามารถA^{-1}ได้$
$\left(A^{-1}\right)^{-1} ={\left|A\right| \bmatrix{d & -b \\ -c & a}}^{-1}...\ast $
$ให้ B=\bmatrix{d & -b \\ -c & a}$
$det(B)=ad-bc=det(A)$
$จะได้ว่าB^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\bmatrix{a & b \\ c & d}=\frac{1}{\left|A\right|}A$
$\therefore (A^{-1})^{-1}=A$

[poper]

กำหนดให้ $A$ สามารถหา $A^{-1}$ ได้
$$(A^{-1})^{-1}=B$$
$$(A^{-1})(A^{-1})^{-1}=A^{-1}B$$
$$I=A^{-1}B$$
$$AI=AA^{-1}B$$
$$A=B$$
ดังนั้น $(A^{-1})^{-1}=A$

['' ALGEBRA '']

#6
ดูง่ายกว่าผมเยอะเลย
ขอบคุนนะคับที่ทำให้อ่านง่ายขึ้น

[~ArT_Ty~]

ขอบคุณมากครับ

[Oriel]

#6
ในบรรทัดที่สอง(ของสมการ) ใช้ $A^{-1}(A^{-1})^{-1}=I$ ได้หรอครับในเมื่อจะพิสูจนว่า $(A^{-1})^{-1}=A$ (ไม่รู้ว่า $(A^{-1})^{-1}=A$จริงเปล่า )

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Oriel

#6
ในบรรทัดที่สอง(ของสมการ) ใช้ $A^{-1}(A^{-1})^{-1}=I$ ได้หรอครับในเมื่อจะพิสูจนว่า $(A^{-1})^{-1}=A$ (ไม่รู้ว่า $(A^{-1})^{-1}=A$จริงเปล่า )

ถ้า $AB=AC$ ไม่จำเป็นว่า $A=C$ นะครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Oriel

#6
ในบรรทัดที่สอง(ของสมการ) ใช้ $A^{-1}(A^{-1})^{-1}=I$ ได้หรอครับในเมื่อจะพิสูจนว่า $(A^{-1})^{-1}=A$ (ไม่รู้ว่า $(A^{-1})^{-1}=A$จริงเปล่า )

ก็ถ้าลอง $C=A^{-1}$ จะได้ว่า $(A^{-1})(A^{-1})^{-1}=C\times C^{-1}=I$
สรุปคือ คุณ poper เค้าไม่ได้ใช้สมบัติที่จะพิสูจน์หรอกครับ

[Oriel]

อ๋อ ขอบคุณมากครับ