ปัญหาสมการอ้างอิงตัวแปรเสริม 3 มิติ

[ทำไมเราโง่จังเรย]

ขอความช่วยเหลือแก้ปัญหาโจทย์เรื่องสมการอ้างอิงตัวแปรเสริม 3 มิติครับ
มีเส้นตรง L1: x-1=2y+2,z=4 และ
เส้นตรง L2:ผ่านจุด P(2,1,-3) และ Q(0,8,4)
ให้หา่จุดสองจุด ที่อยู่บนเส้นตรงแต่ละเส้น โดยที่จุดทั้งสองจุดนี้อยู่ใกล้กันมากที่สุด

ข้อนี้เป็นเส้นตรงสองเส้นเป็นเส้นไขว้ต่างระดับอะคับ แล้วที่พอจะทราบตอนนี้ก็คือ
-เส้นไขว้สองเส้นจะมีระยะระหว่างเส้นตรงสั้นที่สุด คือ ตรงที่ทำมุมตั้งฉากกันและกัน โดยถ้าหาระยะสั้นที่สุดใช้ เวกเตอร์ตั้งฉากหนึ่งหน่วย ดอทกับเวกเตอร์ที่ีเชื่อมระหว่างสองเวกเตอร์ แต่ไม่ทราบจริงๆว่าถ้าจะหาจุดปลายทั้งสองของระยะที่ใกล้ที่สุดนี้จะหาได้ อย่างไร

-ข้อนี้หาระยะที่สั้นที่สุดระหว่างสองเส้นตรงได้เป็น \frac{133}{\sqrt{501} } ไม่ทราบว่าการระยะสั้นที่สุดมาจะทำให้สามารถช่วยในการหาจุดปลายทั้งสองได้ หรือไม่อย่างไร?
ขอบคุณสำหรับทุกคำตอบคับ

[nooonuii]

ผมทำโดยใช้อนุพันธ์ย่อยครับ ไม่แน่ใจว่าเรียนเรื่องพวกนี้แล้วหรือยัง

สมการ parametric เป็นดังนี้

$L_1: x(t)=2t+3,y(t)=t,z(t)=4$

$L_2: x(s)=2-2s,y(s)=1+7s,z(s)=7s-3$

ระยะทางระหว่างจุด $(x(t),y(t),z(t))$ กับ $(x(s),y(s),z(s))$ กำลังสองคือ $D^2=(2s+2t+1)^2+(t-7s-1)^2+(7-7s)^2$

แต่ที่ระยะต่ำสุดอนุพันธ์ย่อยของ $D^2$ เทียบกับ $s,t$ จะต้องเป็นศูนย์ จึงได้

$204s-6t=80$

$6s-10t=2$

แก้ระบบสมการได้ $s=\dfrac{197}{501},t=\dfrac{6}{167}$

จึงได้ระยะทางต่ำสุด $=\dfrac{133}{\sqrt{501}}$

ซึ่งเป็นระยะระหว่างจุด $(\frac{513}{167},\frac{6}{167},4)$ บน $L_1$ และ $(\frac{608}{501},\frac{1880}{501},-\frac{124}{501})$ บน $L_2$

[InI-Dea~]

คุณ nooonuii นี่ตอบได้ทุกเรื่องจริงๆ

นับถือๆ

[ทำไมเราโง่จังเรย]

ขอบคุณ คุณ nooonuii มากๆเลยครับ