เลขคณิตและพีชคณิต ช่วยดูให้หน่อย

[Worrchet]

1.ผลสำเร็จของ $5-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-...}}}$ มีค่าเท่าใด

$5-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-...}}}$
กำหนด  $2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-...}} = x$ <---ที่ต้องสมมติให้เป็น x เพราะว่าให้จน. $2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-...}}$ ที่มีค่าไม่สิ้นสุดเท่ากับ x ใช่ไหมครับ (มันคือการสมมติตัวแปรเพื่อให้ง่ายต่อการทำใช่ไหมครับ)
; $2-\frac{1}{x} = x$ <--- ทำไมเป็น 2 จริงๆต้องเป็น 5 ใช่ไหมครับ
.
.
.

2."สูตรของเลอจองดร์ นอกจากการหาว่ามีเลขศูนย์ลงท้ายกี่ตัวแล้ว ยังใช้ทำอะไรได้อีก?(อันนี้อยากรู้สับสนมาก)
3.กำหนดให้ n! = n(n-1)(n-2)...3•2•1 เมื่อให้ n เป็นจน.เต็มบวก $(1!+2!+3!+...+2547!)^{(2!+3!+4!+...+2547!)^{(3!+4!+5!+...+2547!)^{...(2547)!}}}$ = A•$10^n$ เมื่อ $2\leq A \lt10$ และ n เป็นจน.เต็มของทศนิยมหลักสุดท้ายที่ไม่ใช่ 0 คือเลขใด (โครงการสรรหานร.ที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์)
เนื่องจาก 1!+2!+3!+...+2547! จะมีเลขลงท้ายด้วย 3
กำหนด x = $(1!+2!+3!+...+2547!)^{(2!+3!+4!+...+2547!)^{(3!+4!+5!+...+2547!)^{...(2547)!}}}$
         x = $(เลขลงท้ายด้วย 3)^{(2!+3!+4!+...+2547!)^{(3!+4!+5!+...+2547!)^{...(2547)!}}}$
เนื่องจาก 4 หาร 4!,5!,6!,...ลงตัวเพราะมี 4 เป็นตัวประกอบ
และ 2!+3!=8 ดังนั้น 4 หารลงตัว
; $(2!+3!+4!+...+2547!)^h$ หารด้วย 4 ลงตัว เมื่อ $h\geq1$ และ h เป็นจน.เต็ม จะเห็นว่า x ลงท้ายด้วย 1
เมื่อจัดรูป x ให้อยู่ในรูป $A•10^n$  จะได้ทศนิยมหลักสุดท้ายของ A คือ 1
เราอยากถามว่า 
3.1.ทำไมต้องใช้ 4 หาร (บอกด้วยว่า4มาจากไหน)
3.2.แล้วทำไมต้องยกกำลัง h แล้ว h มันคืออะไร
3.3.ทุกตัว 4 หารลงตัวหมด ยกเว้น 1! ใช่ไหม ถ้าใช่ช่วยอธิบายด้วยว่าหารไม่ลงตัวเพราะอยู่ในนรูป $\frac{1}{4}$ ใช่หรือไม่ครับ (ต้องขอโทษนะที่ถามอย่างละเอียด เพราะว่าเราไม่มั่นใจในหนังสือน่ะมันพิมผิดบ่อย ขอบคุณครับ)
มีมาเพิ่ม update(30/ก.ค./54)
4.ให้ N = 1•1!+2•2!+3•3!+...+20•20! จงหาผลบวกของจน.เฉพาะทุกจน.ที่เป็นตัวประกอบของ N+1 (สอวน.)
N = 1•1!+2•2!+3•3!+...+20•20!
   =(2-1)1!+(3-1)2!+(4-1)3!+...+(21-1)20!
   =2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+21!-20!
   =21!-1!   <---- ทำไมมันมีค่าเท่านี้ เพราะทุกอันมันลบกันแต่ละคู่จะมีค่าเท่ากับ 1! ไม่ใช่หรอครับ?
   =21!-1
ดังนั้น N+1=21!
....
....
5.จงหาค่าของ $\sqrt[]{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt[]{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt[]{1+\frac{1}{1999^2}+\frac{1}{2000^2}}$ (สอวน.)
ตรวจสอบเบื้องต้น เพื่อหาแบบรูปดังนี้
$\sqrt[]{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt[]{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt[]{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\sqrt[]{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}$
$=\frac{3}{2}+\frac{7}{2}+\frac{13}{12}+\frac{21}{20}$
$=1\frac{1}{2}+1\frac{1}{6}+1\frac{1}{12}+1\frac{1}{20}$
$=4+(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20})$
ทำให้จากเหตุผลเดียวกัน ทำให้เราทราบว่า
(อธิบายหน่อยว่าเกี่ยวอะไรกับข้างบน)
โจทย์ $=1999+(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{1999\cdot2000}$
        $=1999+(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...)$
        $=1999+(1-\frac{1}{2000})$
        $=1999+(\frac{2000}{2000}-\frac{1}{2000})$
        $=1999+(1-\frac{1}{2000})$
        $=1999+\frac{1999}{2000}$
        $=1999\frac{1999}{2000}$
6.จงหาค่าของ  $\frac{(5^4+4)(9^4+4)(13^4+4)(17^4+4)(21^4+4)(25^4+4)(29^4+4)(33^4+4)(37^4+4)}{(3^4+4)(7^4+4)(11^4+4)(15^4+4)(19^4+4)(23^4+4)(2 7^4+4)(31^4+4)(35^4+4)}$ (แนะนำ $x^4+4y^4 = [(x-y)^2+y^2][(x+y)^2+y^2)]$ (สอวน.)

ให้ $a = \frac{(5^4+4) <--- มันตรงกับx^4+4y^4 = [(x-y)^2+y^2][(x+y)^2+y^2)] อย่างไร(9^4+4)(13^4+4)(17^4+4)(21^4+4)(25^4+4)(29^4+4)(33^4+4)(37^4+4)}{(3^4+4)(7^4+4)(11^4+4)(15^4+4)(19^4+4)(23^4+4)(27^4+4)(3 1^4+4)(35^4+4)} (แนะนำ x^4+4y^4 = [(x-y)^2+y^2][(x+y)^2+y^2)]$
     $a = \frac{[(5-1)^2+1] <---- แยกอย่างไร[(5+1)^2+1][(9-1)^2+1][(9+1)^2+1]...[(37-1)^2+1][(37+1)^2+1]}{[(3-1)^2+1][(3+1)^2+1][(7-1)^2+1][(7+1)^2+1]...[(35-1)^2+1][(35+1)^2+1]}$ <---มันแยกอย่างไรครับ
.
.
.
7.$\frac{(3\cdot4)\cdot(5\cdot6)\cdot(7\cdot8)\cdot...\cdot(2549\cdot2550)}{(2\cdot3)\cdot(4\cdot5)\cdot(6\cdot7)\cdot...\cdot(2 548\cdot2549)}$
$= \frac{2550}{2}$ <---- 2มาจากไหนมันน่าจะตัดกันหมดแล้วนะครับ
$= 1275$
8.A = 4+44+444+4444+44444+....+(444...4) <---1000ตัวเฉพาะในวงเล็บนะครับ และ B คือเศษที่ได้จากการหาร A ด้วย 10000 แล้ว 1600-Bมีค่าเป็นเท่า(มหิดล)
 
A = 4+44+444+4444+44444+....+(444...4) <---1000ตัวเฉพาะในวงเล็บนะครับ และ B คือเศษที่ได้จากการหาร A ด้วย 10000 แสดงว่า เศษที่ได้เป็นเลข 4 หลัก ซึ่งมีหลักการพิจารณาดังนี้
4...4444 <---อธิบายตั้งแต่ตรงนี้ถึง ...1560 ว่ามีวิธีการคิดอย่างไร
4...4444   


44444
4444
444
44
4
...1560
จะเห็นว่า เศษจากการหาร A ด้วย 10000 คือ 1560 ดังนั้น B=1560
นั่นคือ 1600-B = 1600-1560=40

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Worrchet

1.ผลสำเร็จของ $5-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-...}}}$ มีค่าเท่าใด

วันนี้มึนแล้ว เอาข้อแรกก่อน

$5-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-...}}} = 3 + \left(2 -\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-...}}} \right) $

ให้ $x = 2 -\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-...}}} $

$x = 2 - \frac{1}{x}$

$x^2 -2x+1 = 0$

$x = 1$

$5-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-...}}} = 3 + \left(2 -\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-...}}} \right) = 3+1 = 4 $

[poper]

ข้อ3.1 - น่าจะใช้การสังเกตุเอาครับ
ข้อ3.2 - $h$ คือเลขยกกำลังต่อจากนั้นทั้งหมดครับ ซึ่งเราไม่จำเป็นต้องหาค่าจึงกำหนดเป็นจำนวนเต็มจำนวนหนึ่งไป
ข้อ3.3 - พอเรารู้ 2 ข้อแรกแล้วเราจะได้ $x=(....3)^{4k}$ โดยที่ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวก เนื่องจาก $3^4$ ลงท้ายด้วย 1
ดังนั้น $x=(....1)^k$ จึงตอบว่าเลขหลักสุดท้าย คือ $1$ ครับ

[Worrchet]

อยากรู้ว่าทำไมเวลาพิมพ์Latex ที่เป็นเศษส่วน ทำไมมันเบี้ยว ทั้งที่ใส่$ไปแล้วอะครับ

[Worrchet]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ข้อ3.1 - น่าจะใช้การสังเกตุเอาครับ
ข้อ3.3 - พอเรารู้ 2 ข้อแรกแล้วเราจะได้ $x=(....3)^{4k}$ โดยที่ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวก เนื่องจาก $3^4$ ลงท้ายด้วย 1
ดังนั้น $x=(....1)^k$ จึงตอบว่าเลขหลักสุดท้าย คือ $1$ ครับ

จาก3.1.มีหลักการสังเกตอย่างไรหรือว่าดูจากตรงไหนครับ
ช่วยขยายความข้อ 3.3. หน่อยนะครับ ยังงงอยู่ขอบคุณครับ

[poper]

สังเกตุจากเลขยกกำลังตัวแรกสุดครับ โดยส่วนตัวคิดว่าเค้าคงไม่ต้องการให้คิดเลขยกกำลังหลายชั้นเพราะมันจะยากเกินไปครับ
ส่วนตรงตอนสุดท้าย เมื่อเรารู้ว่าเลขยกกำลังทั้งหมดนั้นหารด้วย 4 ลงตัว ผมจึงกำหนดให้เป็น $4k$ ครับ
แล้วก็คิดกำลัง 4 โดยถ้าจำนวนนั้นลงท้ายด้วย 3 ยกกำลัง 4 ก็จะลงท้ายด้วย 1 เสมอครับ
แล้วจากนั้นไม่ว่าจะยกกำลังใดๆก็ตามจำนวนที่ได้ก็จะลงท้ายด้วย 1 เสมอครับ
$(.....3)^{4k}=\{(....3)^4\}^k=(....1)^k=......1$

[poper]

ข้อ 4. นั้น $m!-n!\not=(m-n)!$ นะครับ
ข้อ 5. จากการตรวจสอบเบื้องต้นจะได้ว่า ทุกจำนวนมีจำนวนเต็ม 1 เสมอ และอนุกรมเศษส่วนอยู่ในรูป $\sum{\frac{1}{n(n+1)}}$
ดังนั้น ถ้าบวกกัน 4 พจน์ก็จะได้ตามที่ตรวจสอบไว้คือ $4+(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5})$
แต่โจทย์เป็นการบวกกัน 1999 พจน์ จึงได้ตามนั้นครับ
ข้อ 6. $5^4+4=5^4+4\cdot1^4=[(5-1)^2+1][(5+1)^2+1]$ นั่นคือ $x=5\ \ ,y=1$ ครับ
ข้อ 7. ดูดีๆครับ ตัดไม่หมดนะครับ

[Worrchet]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

สังเกตุจากเลขยกกำลังตัวแรกสุดครับ โดยส่วนตัวคิดว่าเค้าคงไม่ต้องการให้คิดเลขยกกำลังหลายชั้นเพราะมันจะยากเกินไปครับ
ส่วนตรงตอนสุดท้าย เมื่อเรารู้ว่าเลขยกกำลังทั้งหมดนั้นหารด้วย 4 ลงตัว ผมจึงกำหนดให้เป็น $4k$ ครับ
แล้วก็คิดกำลัง 4 โดยถ้าจำนวนนั้นลงท้ายด้วย 3 ยกกำลัง 4 ก็จะลงท้ายด้วย 1 เสมอครับ
แล้วจากนั้นไม่ว่าจะยกกำลังใดๆก็ตามจำนวนที่ได้ก็จะลงท้ายด้วย 1 เสมอครับ
$(.....3)^{4k}=\{(....3)^4\}^k=(....1)^k=......1$

1.สักเกตเลขยกกำลังตัวแรกคือตรงไหนครับแล้วมันเกี่ยวอะไรกับ4อะครับ ช่วยขยายความหน่อย

2.เลขยกกำลังที่คุณ poper บอกหมายถึง $${(2!+3!+4!+...+2547!)^{(3!+4!+5!+...+2547!)^{...(2547)!}}}$$ ใช่ไหมครับ มันหารด้วย 4 ลงตัว แล้ว $4k$?คืออะไรครับ
3.ขยายความข้อความต่อจากนั้นด้วยครับ(ทำไมข้อนี้มันยากจัง)

[Worrchet]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ข้อ 4. นั้น $m!-n!\not=(m-n)!$ นะครับ
ข้อ 5. จากการตรวจสอบเบื้องต้นจะได้ว่า ทุกจำนวนมีจำนวนเต็ม 1 เสมอ และอนุกรมเศษส่วนอยู่ในรูป $\sum{\frac{1}{n(n+1)}}$
ดังนั้น ถ้าบวกกัน 4 พจน์ก็จะได้ตามที่ตรวจสอบไว้คือ $4+(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5})$
แต่โจทย์เป็นการบวกกัน 1999 พจน์ จึงได้ตามนั้นครับ
ข้อ 6. $5^4+4=5^4+4\cdot1^4=[(5-1)^2+1][(5+1)^2+1]$ นั่นคือ $x=5\ \ ,y=1$ ครับ
ข้อ 7. ดูดีๆครับ ตัดไม่หมดนะครับ
ข้อ 8.หลักหน่วยจะมี 4 บวกกัน 1000 ตัว หลักหน่วย เป็น $4\times0=0$
หลักสิบ มี 4 บวกกัน 999 ตัว หลักสิบเป็น $4\times9=36$ (ใส่6 ทด 3 ไว้หลักถัดไป)
หลักร้อย มี 4 บวกกัน 998 ตัว หลักร้อยเป็น $4\times8+3=35$ (ใส่ 5 ทด 3 ไว้หลักถัดไป)
หลักพัน มี 4 บวกกัน 997 ตัว หลักพันเป็น $4\times7+3=31$ (ใส่ 1 ครบ 4 หลักพอดี)
ตอบ $.....1560$

1.$$m!-n! \neq (m-n)!$$ มันเกี่ยวอะไรกับข้อ4 ครับ?
2.ช่วยขยายความข้อ5หน่อย
3.จากข้อ8 ทำไมหลักหน่วยไม่ทด ซึ่งผลบวกของหลักหน่วย=40000000...
ขอบคุณครับ

[Worrchet]

อย่าเพิ่งโพสครับ
กระทู้นี้เสียมันไม่แสลงผลเป็นLatex แนะนำให้ไปโพสที่"เลขคณิตและพีชคณิต2"ขออภัยในความไม่สะดวกด้วยนะครับ

[-Math-Sci-]

ไม่แสดงผลยังไงหรอครับ ไม่เข้าใจ - - $12^3$ ก้ปกตินิครับ

[poper]

เท่าที่ดูก็เป็น Latex แล้วนะครับ

[Worrchet]

ตั้งแต่ข้อ5มันไม่แปลงเป็นLatexอะครับ

ยังไงรบกวนให้ไปโพสที่2ดีกว่านะครับขอบคุณมากๆครับ

ผมมีโจทย์ใหม่มาโพสอีกเยอะเลยครับรบกวนหน่อยนะครับ