ชวนคิดคณิตเพื่อผลิตรอยหยักในสมอง :)

[Switchgear]

ข้อ 1.
คุณคิดว่าเราสามารถเขียนสูตรแทนจำนวนเต็ม $n$ ใดๆ ในรูปของ $n-1$ ได้หรือไม่ เช่นว่า เราเขียนจำนวน 9 ด้วย
การกระทำทางคณิตศาสตร์ที่มีแต่เลข 8 เท่านั้น และด้วยสูตรเดิมนั้นก็สามารถแทนจำนวน 15 ด้วยเลข 14 อย่างเดียว

ข้อ 2.
คุณคิดว่าเราสามารถเขียนสูตรแทนจำนวนเต็ม $n$ ใดๆ ในรูปของ $n+1$ ได้หรือไม่ เช่นว่า เราเขียนจำนวน 9 ด้วย
การกระทำทางคณิตศาสตร์ที่มีแต่เลข 10 เท่านั้น และด้วยสูตรเดิมนั้นก็สามารถแทนจำนวน 15 ด้วยเลข 16 อย่างเดียว

[nongtum]

1. หากห้ามใช้แฟกทอเรียล จะเขียน 1 ในรูปของศูนย์ไม่ได้ครับ
2. เช่นเดียวกับข้อแรก เราไม่สามารถเขียน -1 ในรูปของศูนย์ได้
ถ้าหากสองข้อนี้ ยอมให้ $0^0=1$ อันนี้ก็อีกเรื่อง
แต่สำหรับจำนวนเต็ม $n\ge2$ มีอย่างน้อยหนึ่งวิธีที่จะทำให้ได้คำตอบตามต้องการ ได้แก่ $$n\pm1=n(\frac{n}{n}\pm\frac{n}{n\times n})$$

[Switchgear]

เห็นด้วยกับความเห็นของคุณ nongtum ครับ

[Switchgear]

ข้อ 3.
ถ้าหากแมว 6 ตัวช่วยกันกินหนู 6 ตัวหมดภายในเวลา 6 นาที อยากทราบว่าต้องใช้แมวกี่ตัวในการกินหนู 100 ตัวให้หมด
ภายในเวลา 100 นาที

ข้อ 4.
ข้อนี้เป็นแนวที่เคยเห็นบ่อยเหมือนกัน แต่คิดว่าตัวเลขต่างจากที่จะถามคราวนี้ คือว่า ถ้าเรามีถังใบหนึ่งที่บรรจุน้ำอยู่ 8 ลิตร
ต้องการแบ่งน้ำเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน บังเอิญว่าหาถังขนาด 4 ลิตรไม่ได้ มีก็แต่ถัง 3 กับ 5 ลิตรอย่างละถัง เราจะสามารถ
แบ่งน้ำตามที่ต้องการได้หรือไม่ และถ้าได้จะมีขั้นตอนการแบ่งอย่างไร

[Switchgear]

ความจริงข้อ 1 และ 2 ควรจะจำกัด Universe ที่สนใจเป็นจำนวนนับเท่านั้น ... แต่ผมลืมระบุไว้
มาดูโจทย์เพิ่มเติมคล้ายๆ กัน

ข้อ 5.
คุณคิดว่าเราสามารถเขียนสูตรแทนจำนวนเต็ม $n > 2$ ใดๆ ในรูปของ $n-2$ ได้หรือไม่ และมีสูตรอย่างไร

ข้อ 6.
คุณคิดว่าเราสามารถเขียนสูตรแทนจำนวนเต็ม $n > 0$ ใดๆ ในรูปของ $n+2$ ได้หรือไม่ และมีสูตรอย่างไร

[Switchgear]

ข้อ 7. (โจทย์ค่อนข้างยาวซักหน่อย)
โจรสามคนช่วยกันขโมยกล้วยมาจำนวนหนึ่ง และตกลงว่าจะแบ่งเท่าๆ กันในเช้าวันรุ่งขึ้น ปรากฎว่าในค่ำคืนนั้นเมื่อทุกคนเข้านอนแล้ว
- โจรคนแรกแอบลุกขึ้นมากินกล้วยไปหนึ่งผล และยังเม้มไปอีกหนึ่งในสามของจำนวนที่เหลือ แล้วกลับเข้านอน
- โจรคนที่สองก็แอบลุกขึ้นมากินไปหนึ่งผล และยังเม้มไปอีกหนึ่งในสามของจำนวนที่เหลือ แล้วกลับเข้านอน
- โจรคนที่สามก็ทำเหมือนกันอีก คือลุกมากินไปหนึ่งผล และยังเม้มไปอีกหนึ่งในสามของจำนวนที่เหลือ แล้วกลับเข้านอน

พอเช้าวันรุ่งขึ้น โจรทั้งสามก็เอากล้วยในกองที่เหลือนั้นออกมาหนึ่งผลเพื่อแบ่งกันกิน จากนั้นก็แบ่งส่วนที่เหลือให้เท่าๆ กันพอดี

ถามว่าแรกเริ่มนั้นโจรเหล่านี้ขโมยกล้วยมาทั้งหมดกี่ผล ?

[kartoon]

ข้อ 7
ให้ N = จำนวนกล้วยในตอนเริ่มแรก
โดยไม่เสียนัยทั่วไป กำหนดให้ N = 3n+1

โจรคนแรกกินไป 1 ผล เหลือ 3n ผล จิ๊กไป 1/3 ของที่เหลือ จึงเหลือ 2/3(3n)
.....
.....

สุดท้ายหลังจากทั้งสามคนแบ่งกล้วยมากินแล้ว 1 ผล จึงเหลือ $\frac{8}{9}n-\frac{19}{9}$ผล
ซึ่งจำนวนนี้ต้องหารด้วย 3 ลงตัว

จึงได้ว่า $8n-19 = 27k$

$8n\equiv 19 (mod 27)$
$8n\equiv -8 (mod 27)$
$n\equiv -1 (mod 27)$

ดังนั้น
$n=-1+27t$
$N=81t-2$

ค่าของ N ที่เป็นไปได้ และน้อยที่สุด คือ 79

[Switchgear]

คำตอบน้อง Kartoon ถูกต้องครับ

[kartoon]

ข้อ 4
จากสมการ Diophantine
$3x+5y=4$.....(1)

เนื่องจาก $(3,5)|4$ ดังนั้นปัญหานี้มีคำตอบ

จากสมการ (1) เราได้ว่า...

$3x\equiv 4 (mod5)$
$3x\equiv 9 (mod5)$
$x \equiv 3 (mod5)$

x = 3+5t..........(2)

แทนค่า (2) ใน (1)

y = -1-3t

จะเห็นว่า x, y มีค่าได้หลายค่า แสดงถึงว่ามีหลายวิธีในการทำตามเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดให้

กรณีที่ t = 0 จะได้ x = 3 และ y = -1
หมายความว่า เราต้องตักน้ำออกจากถัง 8 ลิตร ด้วยถัง 3 ลิตร 3 ครั้ง
และต้องเทน้ำจากถัง 5 ลิตร ลงถัง 8 ลิตร 1 ครั้ง

ขั้นตอน
1) ตักน้ำจากถัง 8 ลิตรด้วยถัง 3 ลิตร (ครั้งที่ 1) แล้วเทลงในถัง 5 ลิตร จนหมดถัง
2) ตักน้ำจากถัง 8 ลิตรด้วยถัง 3 ลิตร (ครั้งที่ 2) เท 2 ลิตรลงถัง 5 ลิตร จนเต็มถัง
3) เทน้ำจากถัง 5 ลิตร(ครั้งที่ 1) ลงถัง 8 ลิตร จนหมดถัง
4) เทน้ำจากถัง 3 ลิตร (ซึ่งมีน้ำเหลืออยู่ 1 ลิตร) ลงถัง 5 ลิตร
5) ตักน้ำจากถัง 8 ลิตรด้วยถัง 3 ลิตร (ครั้งที่ 3)

กรณีที่ t = -1 จะได้ x = -2 และ y = 2
หมายความว่า เราต้องตักน้ำออกจากถัง 8 ลิตร ด้วยถัง 5 ลิตร 2 ครั้ง
และต้องเทน้ำจากถัง 3 ลิตร ลงถัง 8 ลิตร 2 ครั้ง
ซึ่งก็เป็นคำตอบอีกคำตอบหนึ่งครับ
สิ่งที่ผมพยายามแสดงให้ดูนื้ จะเป็นพื้นฐานในการคิดโจทย์แนวนี้ แต่สลับซับซ้อนกว่า...

[nooonuii]

เยี่ยมไปเลยครับ ปกติจะใช้วิธีลองผิดลองถูกกันมากกว่า แบบนี้ก็จัดการกับปัญหาแนวนี้ได้หมดเลยสิครับ

[Switchgear]

แนวคิดของน้อง Cartoon สุดยอดมากครับ ... ผมเคยเห็นเฉลยโจทย์แนวนี้มาเยอะ
แต่ทุกแห่งจะเป็นผลการคิดแบบลองผิดลองถูก จนได้คำตอบที่ต้องการแล้วมาเฉลย
ซึ่งขาดหลักการคิดที่แน่นอน

ฉะนั้นแนวคิดของน้อง Cartoon ถือว่าสุดยอดจริงๆ ... นับเป็นความเหมือนที่แตกต่าง

[TOP]

วิธีแก้ปัญหานี้อีกวิธีหนึ่งที่ไม่ต้องลองผิดลองถูก ก็คือ Euclidean algorithm เคยมีบางคนถึงกับกล่าวไว้ว่า นี่เป็น Algorithm ที่ยอดเยี่ยมที่สุดเท่าที่เคยมีมา
$\begin{array}{rcl}
5 & = & 3(1) + 2 \\
3 & = & 2(1) + 1 \\
\therefore 1 & = & 3 - 2 \\
& = & 3 - (5 - 3) \\
& = & 3(2) + 5(-1) \\
4 & = & 3(8) - 5(-4)
\end{array}$

ถึงตรงนี้เราก็ได้ชุดคำตอบมาหนึ่งอันแล้ว หลังจากนี้หากต้องการคำตอบอันใหม่ ก็ให้บวกลบ 15 เข้าไปเรื่อยๆ เช่น
$\begin{array}{rcl}
4 & = & 3(8) + 5(-4) \\
& = & 3(8) - 15 + 5(-4) + 15 \\
& = & 3(8 - 5) + 5(-4 + 3) \\
& = & 3(3) + 5(-1)
\end{array}$

ทำอีกครั้ง
$\begin{array}{rcl}
4 & = & 3(3) + 5(-1) \\
& = & 3(3) - 15 + 5(-1) + 15 \\
& = & 3(3 - 5) + 5(-1 + 3) \\
& = & 3(-2) + 5(2)
\end{array}$