ข้อสอบ สิรินธร 2553 (ม.ปลาย) สอบวันที่ (19/12/53) * SCAN + PDF *

[not11]

ข้อสอบ สิรินธร 2553 (ม.ปลาย)
PDF : http://www.mediafire.com/?5soc8wcv7di8gcr










ช่วยกันเฉลยครับ

[-Math-Sci-]

ขอบคุณสำหรับข้อสอบครับ

ข้อ 1. ใช้ทบ. เลอจองค์ ในการหาว่า 21! มี 2 เป็นตัวประกอบทั้งหมดกี่ตัว

จะมีทั้งหมด $ \left\lfloor\,\frac{21}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{21}{2^2}\right\rfloor + ... $
$= 10+5+2+1 = 18 $

[กิตติ]

14.$x^3-ax^2+6ax-16$

ให้รากของสมการนี้เป็น$p,q,r$

$q-p=r-q \rightarrow q=\frac{p+r}{2}$

$p+q+r=a\rightarrow p+r=\frac{2}{3}a,q=\frac{1}{3}a$

$pqr=16\rightarrow pr=\frac{48}{a} $

$p^2+r^2=\frac{4}{9}a^2-\frac{96}{a} $

$pq+qr+pr=6a$

$(p+q+r)^2=p^2+q^2+r^2+2(pq+qr+pr)$

$a^2=\frac{4}{9}a^2-\frac{96}{a}+\frac{1}{9}a^2+12a$

$\frac{4}{9}a^2+\frac{96}{a}-12a=0$

$\frac{1}{9}a^2+\frac{24}{a}-3a=0$

$a^3-27a^2+216=0$
$216=3^3\times 2^3$
สมการนี้แยกได้เป็น$(a-3)(a^2-24a-72)=0$
$(a-3)\left(\,(a-12)^2-216\right)=0 $
$a=3,12\pm 6\sqrt{6} $
ผลรวมของ$a$ เท่ากับ $27$

[Amankris]

ข้อที่ดูแล้วน่าสนใจนะครับ

ตอนที่สอง
ข้อ $2).\ ,\ 3).\ ,\ 6).\ ,\ 9).$

[กิตติ]

ข้อ1 ตอน2
$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=15xyz$
$y^2z^2=10xyz \rightarrow yz=10x$
$x^2z^2=3xyz \rightarrow xz=3y$
$x^2y^2=2xyz\rightarrow xy=2z$
$\frac{y}{x}=\frac{10}{3} \frac{x}{y} $
$3y^2-10x^2=0 \rightarrow (\sqrt{3} y-\sqrt{10}x )(\sqrt{3}y+\sqrt{10}x)=0$
$y=\pm\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} x $
$\frac{z}{y} =\frac{3}{2}\frac{y}{z} \rightarrow 2z^2-3y^2=0 \rightarrow (\sqrt{2}z-\sqrt{3}y )(\sqrt{2}z+\sqrt{3}y )=0 $
$z=\pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}y= \pm \sqrt{5}x $
$x:y:z=1:\pm\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}: \pm \sqrt{5}$

$z=10\frac{x}{y} =10\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} = \sqrt{30} \rightarrow z^2=30$

$x=3\frac{y}{z} =3\times \frac{ \sqrt{10}}{ \sqrt{15}}= 3\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{3} }= \sqrt{6} $
$x^2=6$

$y=10\frac{x}{z} =\frac{10}{\sqrt{5} } \rightarrow y^2=20 $

$x^2+y^2+z^2=6+20+30=56$

[LightLucifer]

ช้อยข้อที่น่าสนใจบางข้อ
4.) ก ผิดนะครับ ที่ผิดเพราะว่าอาจมีจุดในช่วง $[-1,5]$ ที่ $f$ ไม่ต่อเนื่อง
12.) ให้ $x=2^{x_1}5^{x_2}7^{x_3},y=2^{y_1}5^{y_2}7^{y_3},z=2^{z_1}5^{z_2}7^{z_3}$
จะได้เท่ากับจำนวนคำตอบของ $x_1+y_1+z_1=7,x_2+y_2+z_2=6,x_3+y_3+z_3=2$
ซึ่งก็คือ $\binom{9}{2} \binom{8}{2} \binom{4}{2} =6048$

ปล ประกาศผลเมื่อไหร่หรือครับ อยากได้เหรียญกับเค้ามั่ง

[NNA-MATH]

ข้อ 9
วิธีที่จะได้โอกาสชนะที่สุด คือ เอาบอลขาว 2 ลูกไว้ในตะกร้าใบแรก ส่วนบอลที่เหลืออีก 98 ลูก (ดำ 50 ขาว 48) ไปไว้ตะกร้าที่ 2 ใช่ไหมครับ
หยิบแบบไม่แทนที่นี่คือ แบบไม่ใส่คืนรึเปล่า ?

[NNA-MATH]

เอ่อ ขอโทษนะครับ คุณกิตติ คิดผิดรึเปล่า
$y^2z^2=10xyz→yz=10x$ ...(1)
$x^2z^2=3xyz→xz=3y$ ...(2)
$x^2y^2=2xyz→xy=2z$ ...(3)
จาก (3) ได้ว่า $z=\frac{xy}{2}
แทนกลับใน (1) ได้ $y^2=20$ แล้วก็ไล่ต่อได้ $x^2=6$ และ $z^2=30$ ดังนั้น $x^2+y^2+z^2=56$ ครับ
ผิดตรงไหนขออภัยด้วยครับ

[กิตติ]

ขอบคุณครับที่ช่วยตรวจทานให้ เป็นตามที่ท้วงไว้
ผมแก้ในส่วนของผมแล้วครับ

[กิตติ]

ข้อ 5 ให้หาผลบวกของเลขสี่หลักที่สร้างขึ้นจากการนำเลข$2,3,4,5$มาเรียงสลับกัน
มาลองพิจารณาเลขที่ขึ้นต้นหลักพันด้วยเลข$2$ มีทั้งหมด $6$ ตัว เช่นเดียวกับหลักพันที่ขึ้นต้นด้วย$3,4,5$ ที่มีอย่างละ $6$ ตัว ผลรวมที่เกิดขึ้นเท่ากับ$6(2+3+4+5)\times 1,000 =84,000$
หลักร้อยที่ขึ้นต้นด้วย $2$ มีอยู่ $6$ ตัว เช่นเดียวกับหลักร้อยที่ขึ้นต้นด้วย$3,4,5$ ที่มีอย่างละ $6$ ตัว ผลรวมที่เกิดขึ้นเท่ากับ$6(2+3+4+5)\times 100 =8,400$
หลักสิบที่ขึ้นต้นด้วย $2$ มีอยู่ $6$ ตัว เช่นเดียวกับหลักร้อยที่ขึ้นต้นด้วย$3,4,5$ ที่มีอย่างละ $6$ ตัว ผลรวมที่เกิดขึ้นเท่ากับ$6(2+3+4+5)\times 10 =840$
หลักหน่วยที่ลงท้ายด้วย $2$ มีอยู่ $6$ ตัว เช่นเดียวกับหลักหน่วยที่ลงท้ายด้วย$3,4,5$ ที่มีอย่างละ $6$ ตัว ผลรวมที่เกิดขึ้นเท่ากับ$6(2+3+4+5) =84$

ผลรวมที่เกิดขึ้นคือ$84,000+8,400+840+84=93,324$

[กิตติ]

ข้อ 7 มีเลขหกหลักกี่จำนวนที่มีเลข$3$ อย่างน้อยหนึ่งตัวกี่จำนวน
เราสร้างเลขหกหลักโดยใช้เลข$0-9$ ได้ทั้งหมดเท่ากับ$9\times 10^5$ จำนวน
เลขหกหลักที่ไม่มีเลข $3$ ประกอบเลยมีทั้งหมด$8\times 9^5$ จำนวน
รวมแล้วเลขหกหลักกี่จำนวนที่มีเลข$3$ อย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับ$9\times 10^5-8\times 9^5$
$=9(10^5-8\times 9^4)=9(100,000-52488)$
$=9\times 47,512$
$=427,608$

[กิตติ]

ไม่มีใครมาช่วยตรวจเลยว่า ผมทำพลาดตรงไหน
มาทำต่อบางข้อที่พอทำได้แล้วกัน
ข้อ10 ตอนที่1
$\alpha ,\beta \quad \epsilon \quad R$
$(1+\alpha)\sin 2\beta+(1-\alpha)\cos 2\beta=1+\alpha$
$(1+\alpha)^2\sin^2 2\beta+(1-\alpha)^2\cos^2 2\beta+2(1-\alpha^2)\sin 2\beta\cos 2\beta=(1+\alpha)^2$
$\alpha(\sin^2 2\beta-\cos^2 2\beta)+(1-\alpha^2)\sin 2\beta\cos 2\beta=\alpha$
$ \left\{\,\frac{1-\alpha^2}{\alpha}\right\}\sin 2\beta\cos 2\beta-2\cos^2 2\beta=0$
$\cos 2\beta\left\{\,\left(\,\frac{1-\alpha^2}{\alpha}\right)\sin 2\beta- 2\cos 2\beta\right\}=0 $
$\cos 2\beta=0$ หรือ $\left(\,\frac{1-\alpha^2}{\alpha}\right)\sin 2\beta- 2\cos 2\beta=0$

กรณีแรก $\cos 2\beta=0 \rightarrow 2\beta=\frac{\pi}{2}+n\pi$
$\beta=\frac{\pi}{4}+\frac{n}{2}\pi,n=0,1,2,...$ จะได้ว่าที่ค่ามุมนี้$\quad \sin \beta=\cos \beta$

กรณีที่สอง $\left(\,\frac{1-\alpha^2}{\alpha}\right)\sin 2\beta- 2\cos 2\beta=0$
ในตัวเลือกมีแต่ค่าของ $ \sin \beta,\cos \beta$....ไปหา$\tan\beta$ น่าจะง่ายที่สุด
$tan2\beta=\frac{2\alpha}{1-\alpha^2} =\frac{2tan\beta}{1-tan^2\beta} $
$cos2\beta=\frac{1-\alpha^2}{1+\alpha^2} =\frac{1-tan^2\beta}{1+tan^2\beta}\rightarrow tan^2\beta-\alpha^2=0$
$(tan\beta+\alpha)(tan\beta-\alpha)=0$
$tan\beta=\pm \alpha$...นำไปแทนหาค่า$tan2\beta$ เหลือค่าที่ใช้ได้ค่าเดียวคือ$tan\beta= \alpha$
$sin\beta=\alpha \cos\beta$

ข้อนี้จึงมีข้อความที่ถูก2ข้อความคือ ก และ ค

[กิตติ]

ข้อ 5.ตอนที่2
ดูโจทย์ยาวๆแล้วเหมือนจะทำยาก แต่ไม่ยากแฮะ

$\dfrac{sin\frac{(n+1)\pi}{3}+sin\frac{(n-1)\pi}{3} +2sin\frac{n\pi}{3}}{cos\frac{(n-1)\pi}{3}-cos\frac{(n+1)\pi}{3}} =?$

แยกดูทีละส่วน
$cos\frac{(n-1)\pi}{3}-cos\frac{(n+1)\pi}{3}=2sin\left(\,\frac{(n+1)\pi+(n-1)\pi}{6} \right) sin\left(\,\frac{(n+1)\pi-(n-1)\pi}{6}\right) $

$=2sin\frac{n\pi}{3}sin\frac{\pi}{3}$
$=\sqrt{3}sin\frac{n\pi}{3} $

$sin\frac{(n+1)\pi}{3}+sin\frac{(n-1)\pi}{3}=2sin\left(\,\frac{(n+1)\pi+(n-1)\pi}{6} \right)cos\left(\,\frac{(n+1)\pi-(n-1)\pi}{6} \right) $
$=2sin\frac{n\pi}{3}cos\frac{\pi}{3}$
$=sin\frac{n\pi}{3}$

$\dfrac{sin\frac{(n+1)\pi}{3}+sin\frac{(n-1)\pi}{3} +2sin\frac{n\pi}{3}}{cos\frac{(n-1)\pi}{3}-cos\frac{(n+1)\pi}{3}} =\dfrac{3sin\frac{n\pi}{3}}{\sqrt{3}sin\frac{n\pi}{3} } =\sqrt{3} \approx 1.732$

[tongkub]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ไม่มีใครมาช่วยตรวจเลยว่า ผมทำพลาดตรงไหน

จะให้ตรวจว่าทำพลาดตรงไหนได้อย่างไรละครับ ในเมื่อมันถูกต้องแล้ว

[ยังห่างไกลจากความเป็นเทพ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

12.) ให้ $x=2^{x_1}5^{x_2}7^{x_3},y=2^{y_1}5^{y_2}7^{y_3},z=2^{z_1}5^{z_2}7^{z_3}$
จะได้เท่ากับจำนวนคำตอบของ $x_1+y_1+z_1=7,x_2+y_2+z_2=6,x_3+y_3+z_3=2$
ซึ่งก็คือ $\binom{9}{2} \binom{8}{2} \binom{4}{2} =6048$

ปล ประกาศผลเมื่อไหร่หรือครับ อยากได้เหรียญกับเค้ามั่ง

อยากทราบว่าหลังจาก $x_1+y_1+z_1=7,x_2+y_2+z_2=6,x_3+y_3+z_3=2$ แล้วทำไมถึงได้ $\binom{9}{2} \binom{8}{2} \binom{4}{2} =6048$ ครับ ยังงงๆอยู่

ส่วนของผมใช้การนับไล่แบบแล้วดูความสัมพันธ์ครับ คำตอบเท่ากันครับ