Trigonometry

[dektep]

ข้อสอบในค่ายสสวท.ครับ
1.สมมติว่า $\theta$ เป็นพหุคูณตรรกยะของ $\pi$ นั่นคือ $\theta = \frac{m\pi}{n}$
โดยที่ $m,n \in \mathbb{Z},n \not= 0$
(1)ถ้า $cos \theta \in \mathbb{Q}$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $cos \theta$ (พร้อมบทพิสูจน์)
(2)ถ้า $tan \theta \in \mathbb{Q}$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $tan \theta$ (พร้อมบทพิสูจน์)
เมื่อ $\mathbb{Q}$ แทนเซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

ข้อสอบในค่ายสสวท.ครับ
1.สมมติว่า $\theta$ เป็นพหุคูณตรรกยะของ $\pi$ นั่นคือ $\theta = \frac{m\pi}{n}$
โดยที่ $m,n \in \mathbb{Z},n \not= 0$
(1)ถ้า $cos \theta \in \mathbb{Q}$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $cos \theta$ (พร้อมบทพิสูจน์)
(2)ถ้า $tan \theta \in \mathbb{Q}$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $tan \theta$ (พร้อมบทพิสูจน์)
เมื่อ $\mathbb{Q}$ แทนเซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด

คนออกข้อสอบน่าจะ update วารสารอยู่บ่อยๆครับ ผมมีวิธีพิสูจน์โดยใช้ cyclotomic polynomial ครับ ไม่แน่ใจว่ามีสอนในค่ายกันรึยัง

[dektep]

พี่ nooonuii ช่วยโพสต์เฉลยได้ไหมครับ ผมยังคิดไม่ออกเลยครับ

[M@gpie]

เกิดมาเพิ่งเคยได้ยินเนี่ยแหละครับ Cyclotomic polynomial รอพี่ Noonuii มาแถลง

[nooonuii]

Cyclotomic polynomial คือ พหุนามที่ลดทอนไม่ได้บนเซตของจำนวนตรรกยะที่มีกำลังน้อยสุดซึ่งมีรากทั้งหมดคือ primitive $n th$ roots of unity(รากที่ $n$ ของ $1$ ที่ไม่ใช่ $1$ และมีคุณสมบัติพิเศษบางอย่าง อธิบายยากจัง ) เราใช้สัญลักษณ์ $\Phi_n(x)$ แทนพหุนามชนิดนี้
มีทฤษฎีบทหนึ่งกล่าวไว้ว่ากำลังของ $\Phi_n(x)$ จะมีค่าเท่ากับ $\phi(n)$ เมื่อ $\phi$ คือ Euler-phi function

ตัวอย่าง

$\Phi_2(x)=x+1$
$\Phi_3(x)=x^2+x+1$
$\Phi_4(x)=x^2+1$
$\Phi_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$
$\Phi_6(x)=x^2-x+1$

ปูพื้นให้แค่นี้ก่อนละกันครับ คราวนี้กลับมาที่ปัญหาของเรา
ให้ $z=e^{i\theta}$ จะได้ว่า $z$ เป็นรากของพหุนาม $z^2-2\cos{\theta}z+1$ ซึ่งเป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ
แต่ $z$ เป็น primitive $n th$ root of unity สำหรับบาง $n$ เราจึงได้ว่า $\Phi_n(x)$ มีกำลังไม่เกินสอง เพราะพหุนามนี้เป็นพหุนามที่มีกำลังน้อยสุดที่มี $z$ เป็นราก เราจึงได้ว่า $\phi(n)\leq 2$ ซึ่ง $n$ ที่สอดคล้องคุณสมบัตินี้คือ $1,2,3,4,6$ เท่านั้น ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของ $\cos\theta$ คือ $0,\pm 1,\pm \dfrac{1}{2}$

ค่าที่เป็นไปได้ของ $\sin\theta$ หาได้จากสูตร $\sin\theta=\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)$

ค่าที่เป็นไปได้ของ $\tan\theta$ หาได้จากสูตร $$\cos2\theta=\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}$$

ที่มา : Rational Values of Trigonometric Functions, The American Mathematical Monthly จำ Volume ไม่ได้แล้วครับ แต่เป็นวารสารที่ตีพิมพ์เมื่อเร็วๆนี้ หน้า 818

Comment : ผมว่าวิธีนี้ใช้เทคนิคของพีชคณิตชั้นสูงเกินไป ถึงแม้ว่าวิธีพิสูจน์จะค่อนข้างสั้นแต่ต้องการความเข้าใจในหลายๆเรื่อง ผมเชื่อว่ายังมีวิธีที่ง่ายกว่านี้อีกครับ ผู้เขียนได้แนะไว้ว่ามีวิธีพิสูจน์ซึ่งอาจจะเข้าใจง่ายกว่านี้ในหนังสือ

1. Irrational Numbers ของ I. Niven ตีพิมพ์ปี 1956 หน้า 41

2. Introduction to Cyclotomic Fields ของ Lawrence Washington ตีพิมพ์ปี 1997 หน้า 15

ลองหาจากสองเล่มนี้เผื่อจะมีวิธีง่ายๆครับ แต่หนังสือเล่มที่สองผมว่าไม่ง่ายน่ะเพราะคนนี้เป็นอาจารย์สอนอยู่มหาลัยของผมเอง
เขาเขียนหนังสือระดับ graduate ครับ

[nooonuii]

หลังจากเสียเวลาพิมพ์ความคิดเห็นข้างบนอยู่นาน สุดท้ายผมก็คิดวิธีง่ายๆออกแล้วครับ
ข้างบนเอาไว้อ่านเพลินๆก็แล้วกันนะครับ แต่ก็ได้ไอเดียจากวิธีนี้แหละนะ

ให้ $z=\cos\theta + i\sin\theta$
จากข้อสมมติเราจะได้ว่า $z$ เป็นรากที่ $n$ ของ $1$ สำหรับบาง $n$
นั่นคือ $z$(และ $\overline{z}$) เป็นรากของพหุนาม $x^n-1$
แต่ $z,\overline{z}$ เป็นรากของพหุนาม $x^2-2\cos\theta x+1$ ด้วย
เราจึงได้ว่า $$x^2-2\cos\theta x+1\mid x^n-1$$
แต่ตัวประกอบของ $x^n-1$ จะเป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มเสมอ
ดังนั้นจึงเป็นไปได้อย่างเดียวว่า $2\cos\theta$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม เราจึงได้ว่า
$$\cos\theta=0,\pm 1,\pm\frac{1}{2}$$ เท่านั้น

[nooonuii]

ผมว่าวิธีง่ายๆที่ผมว่ายังมีข้อผิดพลาดอยู่ มีใครจับผิดได้บ้างครับ