ลองข้อนี้ดูคับ

M@gpie · #1 16 เมษายน 2005, 16:48

ให้ \( \vec{v}_n= \frac{1}{n} \ \vec{i} +\sqrt{1- \frac{1}{n^2}} \ \vec{j} \)
แล้วค่าของ \( \sum _{n=1} ^{99} \mid \vec{v}_{n+1} - \vec{v}_n \mid\) อยู่ในช่วงใด
(1,1.2)
(1.2,1.4)
(1.4,1.6)
(1.6,1.8)
เป็นข้อสอบเอนท์น่ะคับ ผมคิดไม่ออกแหะๆๆ

warut · #2 17 เมษายน 2005, 04:14

เป็นโจทย์เอ็นทรานส์ข้อไหน รอบไหน ของปีไหนครับ

passer-by · #3 17 เมษายน 2005, 05:11

นี่มัน เลข1 ตอน ตุลา 47 นี่นา เคยเห็นแวบๆ
ตอนนี้คิดออก แต่ lower bound นะครับ
summation ที่ต้องการ= |\( \vec(v_{100})\ -\vec(v_{99})\ \)|+|\( \vec(v_{99})\ -\vec(v_{98})\ \)|+...+|\( \vec(v_{2})\ -\vec(v_{1})\ \)| ณ|\( \vec(v_{100})\ -\vec(v_{1})\ \)|=ึ1.98 >1.4
ดังนั้น ตัวเลือก ข้อ 1 กับ 2 หมดสิทธิ์
ถ้าให้เดา คงเลือกข้อ 3
(ผมสังเกตเห็นว่า vector v มันคล้าย sin กับ cos ผสมอยู่จังเลย น่าจะเอา ตรีโกณมิติมาช่วยได้อีกแรงมั้งนะ)

passer-by · #4 18 เมษายน 2005, 03:26

คิด upper bound ออกแล้ว

(หมายเหตุ: สิ่งที่จะอธิบายต่อไปนี้ ถ้าวาดรูปประกอบจะเข้าใจเร็วขึ้นมากๆ แต่ฝีมือในการวาดผมแย่สุดๆ ใครที่มีศิลป์ และเข้าใจที่ผมจะอธิบายต่อจากนี้ ลองช่วยหน่อยนะครับ)
สังเกตได้ว่า จุดปลายเวกเตอร์ที่กำหนด อยู่บน unit circle
ถ้าเราวาด วงกลม เฉพาะส่วนในจตุภาคที่ 1 และพิจารณา sector ที่เกิดจาก\( \large\vec(v_{n+1} \) และ\(\large \vec(v_{n} \) เราพบว่าแต่ละเทอมของ summation ในโจทย์ คือ ความยาวเส้นเชื่อมจุดปลายเวกเตอร์คู่ที่ติดกัน แต่เส้นเชื่อมเหล่านี้ สั้นกว่า arc ที่ รองรับมันเสมอ ดังนั้นผลบวกความยาวเส้นเชื่อม ก็ต้องน้อยกว่าผลบวก arc ที่ subtend มันอยู่ ซึ่งเท่ากับความยาว arc ของ 1 quarter วงกลม หรือ p/2 ป1.57 นั่นเอง
ดังนั้น ข้อ 3 คือคำตอบที่ถูกต้อง นับว่าเป็นข้อสอบ ENT ที่มาแนวแปลกกว่าที่ผมเคยสอบมาตอน ผมยังเยาว์วัยเลยนะเนี่ย

warut · #5 18 เมษายน 2005, 07:18

วิธีคิดเยี่ยมจริงๆครับ ผมยังคิดไม่ออกเลยสักอันทั้ง upper bound และ lower bound
ได้แต่อ่านดูเฉลยของคุณ passer-by ตาปริบๆ

ผมว่าความยากของโจทย์เอ็นทรานส์
ข้อนี้ระดับคัดตัวโอลิมปิกเชียวนะ

ป.ล. คุณ M@gpie ทำยังไงน่ะถึงสามารถแก้ไขโจทย์ให้ถูกต้องได้โดยไม่ขึ้นคำว่า
"ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง ..."

passer-by · #6 18 เมษายน 2005, 19:46

ผมก็คิดเหมือน คุณ Warut ครับ มันยากเกินกว่าจะเป็นข้อสอบ entrance ลำพังผมนั่งคิดข้อนี้ ก็หมดไป 1วัน แล้ว เด็กคนไหนคิดข้อนี้ออกตอนเวลาสอบจริงๆ He/She is very excellent !

M@gpie · #7 18 เมษายน 2005, 23:38

อืมมม ข้อนี้ upper bound ผมใช้วิธีเดียวกับคุณ passer-by เลยครับ คือ วาดรูปแล้วก็ดูๆเอา
ส่วน lower bound คิดไม่ออก ข้อนี้ผมยังไม่ได้ไปดูเฉลยตามหนังสือทั่วไปครับ พุ่งนี้กะว่าจะไปดู แต่ละสำนักทำกันยังไง ข้อสอบชุดนี้ มีข้อนี้ที่ผมคิดว่าเด็ดดวงสุดเลย เนี่ย

ส่วนแก้ไขให้ถูกต้องก็ พิมไปสักพักหนึ่งก็ กด ขอดูตัวอย่างครับ ทำจนเป็นที่พอใจแล้วก็ กดส่ง ไม่ได้มีเทคนิคอะไรพิเสด