|
|
#2
28 มกราคม 2016, 11:00
|
||||
|
||||
ให้ $S=\frac{1\cdot 2}{5} +\frac{2\cdot 3}{5^{2}}+\frac{3\cdot 4}{5^{3}}+\frac{4\cdot 5}{5^{4}}+...=\frac{2}{5} +\frac{6}{5^{2}}+\frac{12}{5^{3}}+\frac{20}{5^{4}}+...$
สังเกตตัวบนเป็น $2,6,12,20,...$ ควรจะทำให้ตัวบนเป็นลำดับเลขคณิตก่อน โดยการทำส่วนให้เท่ากันแล้วนำมาลบกัน $\frac{1}{5}S= \frac{2}{5^{2}} +\frac{6}{5^{3}}+\frac{12}{5^{4}}+\frac{20}{5^{5}}+...$ $S-\frac{1}{5}S=\frac{2}{5}+\frac{4}{5^{2}}+\frac{6}{5^{3}}+\frac{8}{5^{4}}+....$ $\frac{4}{5}S=\frac{2}{5}+\frac{4}{5^{2}}+\frac{6}{5^{3}}+\frac{8}{5^{4}}+....$ จะได้ตัวบนเป็นลำดับเลขคณิตแล้ว $(2,4,6,8,...)$ ก็ใช้หลักการเดิมทำลำดับเลขคณิตให้เป็นลำดับคงที่ $\frac{1}{5}(\frac{4}{5} S)=\frac{2}{5^{2}}+\frac{4}{5^{3}} +\frac{6}{5^{4}}+\frac{8}{5^{5}}+...$ $\frac{4}{25}S=\frac{2}{5^{2}}+\frac{4}{5^{3}} +\frac{6}{5^{4}}+\frac{8}{5^{5}}+...$ นำมาลบกัน เพื่อทำให้ตัวบนเป็นลำดับคงที่ $\frac{4}{5}S-\frac{4}{25}S=\frac{2}{5}+\frac{2}{5^{2}}+\frac{2}{5^{3}}+\frac{2}{5^{4}}+....$ $\frac{16}{25}S=\frac{2}{5}+\frac{2}{5^{2}}+\frac{2}{5^{3}}+\frac{2}{5^{4}}+....$ จะได้ลำดับเรขาคณิตที่มี $a_{1}=\frac{2}{5},r=\frac{1}{5}$ และใช้สูตรผลบวกอนันต์ $S=\frac{a_{1}}{1-r}$ $\frac{16}{25}S=\frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{5}}$ $\frac{16}{25}S=\frac{1}{2}$ $S=\frac{25}{32}$ $\therefore \frac{1\cdot 2}{5} +\frac{2\cdot 3}{5^{2}}+\frac{3\cdot 4}{5^{3}}+\frac{4\cdot 5}{5^{4}}+...=\frac{25}{32}$ 
|
  |
|
|
