|
|
#1
10 มีนาคม 2011, 17:27
|
||||
|
||||
ทฤษฏีจำนวน เเละอสมการ
จงหา 5 หลักสุดท้ายของ
$9^{9^{9^{9^{...9^9}}}}$ (9 มี 1001 ตัว) 45289 ถ้าสามารถเขียน ${x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2+{x_4}^2+{x_5}^2 \geqslant a(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_5)$ จะได้ว่า $a$ (ที่เป็นจำนวนจริง) มีค่ามากที่สุดเท่าใด ขอวิธีทำด้วยครับ 10 มีนาคม 2011 17:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ BLACK-Dragon 
|
|
#2
10 มีนาคม 2011, 22:14
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
ถ้าให้ $x_1\neq 0, x_2=\sqrt{3}x_1,x_3=2x_1,x_4=\sqrt{3}x_1,x_5=x_1$ จะได้ว่า $a_{\max}\leq \dfrac{2}{\sqrt{3}}$ จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2\geq\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Big(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_5\Big)$ ซึ่งอสมการสามารถเขียนในรูป SOS ได้เป็น $\Big(x_1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x_2\Big)^2+\Big(\sqrt{\dfrac{2}{3}}x_2-\dfrac{1}{\sqrt{2}}x_3\Big)^2+\Big(\dfrac{1}{\sqrt{2}}x_3-\sqrt{\dfrac{2}{3}}x_4\Big)^2+\Big(\dfrac{1}{\sqrt{3}}x_4-x_5\Big)^2\geq 0$ สมมติว่าอสมการสามารถเขียนเป็น SOS ในรูป $(x_1-k_1x_2)^2+(l_1x_2-k_2x_3)^2+(l_2x_3-k_3x_4)^2+(l_3x_4-x_5)^2\geq 0$ จากนั้นก็กระจายแล้วเทียบสัมประสิทธิ์แก้สมการหา $k_1,k_2,k_3,l_1,l_2,l_3$ ซึ่งก็ดุเดือดพอสมควรครับ  ผมตั้ง conjecture ไว้ว่าค่า $a$ ที่มากที่สุดที่ทำให้อสมการ $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\geq a(x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n)$ เป็นจริง ทุก $x_1,x_2,...,x_n\in\mathbb{R}$ คือ $a_{\max}=\sec{\Big(\dfrac{\pi}{n+1}\Big)}$ แต่ยังพิสูจน์ไม่ได้ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 10 มีนาคม 2011 22:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
|
  |
|
|
