With a+b+c=1...hard or easy?

[tatari/nightmare]

โจทย์แต่งเองขอรัีบ ถ้ามันง่ายจนน่าตกใจก้อขอประทานอภัยด้วยครับ
Let $a,b,c>0$ and $a+b+c=1$
$$\sum_{cyc}\dfrac{1}{(a+b-\sqrt{ab})^2}\leq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}$$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

โจทย์แต่งเองขอรัีบ ถ้ามันง่ายจนน่าตกใจก้อขอประทานอภัยด้วยครับ
Let $a,b,c>0$ and $a+b+c=1$
$$\sum_{cyc}\dfrac{1}{(a+b-\sqrt{ab})^2}\leq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}$$

$Hint : a+b\geqslant \sqrt{ab}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$
ส่วน solution ผมจะเอามาลงวันหลังนะครับ (พอดีไม่ค่อยมีเวลาพิมพ์หนะครับ)

[RoSe-JoKer]

เงื่อนไขเป็น
$a+b+c=3\sqrt{3}$ นะครับถึงจะจริง

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

เงื่อนไขเป็น
$a+b+c=3\sqrt{3}$ นะครับถึงจะจริง

ผมคิดว่า เงื่อนไข $a+b+c=1$ น่าจะถูกแล้วนะครับ (แต่ยังไงก็ช่วย check solution ให้ด้วยละักันนะครับ)
$my$ $solution$
จาก $a+b\geqslant \sqrt{ab}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$
จะได้ $\sum_{cyc}\dfrac{1}{(a+b-\sqrt{ab})^2}\leq \sum_{cyc}\dfrac{2}{a^2+b^2}$
ต่อไปจะแสดงว่า $\sum_{cyc}\dfrac{2}{a^2+b^2}\leq\sum_{cyc} \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}$
$\Leftrightarrow$ $8\sum_{cyc}\dfrac{1}{a^2+b^2}\leq\sum_{cyc} \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}$
$\Leftrightarrow$ $ 8\dfrac{\sum_{cyc}a^4+3\sum_{cyc}a^2b^2}{\sum_{sym}a^4b^2+2a^2b^2c^2}\leq\ \dfrac{\sum_{cyc}a^4+3\sum_{cyc}a^2b^2}{(\sum_{cyc}a^2b^2)^2}$
$\Leftrightarrow$ $ 8{(\sum_{cyc}a^2b^2)^2}\leq\ (\sum_{cyc}a)^2({\sum_{sym}a^4b^2+2a^2b^2c^2})$
$\Leftrightarrow$ $ 6\sum_{cyc}a^4b^4+12\sum_{cyc}a^4b^2c^2$
$\leq\ \sum_{sym}a^6b^2+2\sum_{sym}a^5b^3+2\sum_{sym}a^5b^2c+2\sum_{sym}a^4bc^3+4\sum_{cyc}a^3b^3c^2 $
$\Leftrightarrow$ $ 0 \leq\ (\sum_{sym}a^6b^2+2\sum_{sym}a^5b^3-6\sum_{cyc}a^4b^4)$
$+2(\sum_{sym}a^5b^2c+\sum_{sym}a^4bc^3+2\sum_{cyc}a^3b^3c^2-6\sum_{cyc}a^4b^2c^2)$
โดยอสมการสุดท้ายเป็นจริงจาก muirhead (ก้อนซ้าย) และ AM-GM (ก้อนขวา)
ถ้าผิดพลาดในส่วนไหนก็โปรดชี้แนะด้วยนะครับ

[RoSe-JoKer]

ผมผิดเองครับตรงที่เน้นไว้ผมไม่ได้ยกกำลังสองตรงก้อน $(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$...

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

โจทย์แต่งเองขอรัีบ ถ้ามันง่ายจนน่าตกใจก้อขอประทานอภัยด้วยครับ
Let $a,b,c>0$ and $a+b+c=1$
$$\sum_{cyc}\dfrac{1}{(a+b-\sqrt{ab})^2}\leq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}$$

[Platootod]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

โจทย์แต่งเองขอรัีบ ถ้ามันง่ายจนน่าตกใจก้อขอประทานอภัยด้วยครับ
Let $a,b,c>0$ and $a+b+c=1$
$$\sum_{cyc}\dfrac{1}{(a+b-\sqrt{ab})^2}\leq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}$$

$\sum_{cyc}\dfrac{1}{(a+b-\sqrt{ab})^2} หมายความว่า frac{1}{(a+b-\sqrt{ab})^2}+frac{1}{(b+a-\sqrt{ba})^2}รึปล่าวครับไม่ค่อยมั่นใจครับ$