พหุนาม

[ประเวศ]

กำหนดให้ X, Y และ Z เป็นจำนวนจริงใดๆ กำหนดระบบสมการ
$X^{3}$ - XYZ = 2
$Y^{3}$ - XYZ = 3
$Z^{3}$ - XYZ = -4
จงหาค่าสูงสุดของ XYZ

[ประเวศ]

โจทย์ข้อนี้มี 3 สมการ 3 ตัวแปร แต่ผมแก้ไม่ออก หรือวา xyz ต้องถือว่าเป็นอีกหนึ่งตัวแปร
เป็นโจทย์ข้อสอบประกายกุหลายชั้น ม. ต้น ที่สอบไปเมื่อ 14 ก.พ. 2557 ครับ พอจะมีใครช่วยเฉลยได้บ้างครับ
และผมคิดว่าการหาค่าสูงสุดน่าจะเป็นสมการพาราโบลา แต่นี้เป็น degree กำลัง 3 จึงไม่น่าจะเป็นกราฟพาราโบล่า
หรือว่าโจทย์ข้อนี้เป็นพหุนาม cyclic หรือเปล่าครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ประเวศ

กำหนดให้ X, Y และ Z เป็นจำนวนจริงใดๆ กำหนดระบบสมการ
$X^{3} - XYZ = 2 $
$Y^{3} - XYZ = 3 $
$Z^{3} - XYZ = -4 $
จงหาค่าสูงสุดของ XYZ

$X^{3} - XYZ = 2 \Rightarrow x^3 = xyz+2 $
$Y^{3} - XYZ = 3 \Rightarrow y^3 = xyz+3$
$Z^{3} - XYZ = -4 \Rightarrow z^3 = xyz -4$

ให้ $ t = xyz$ จับ 3 สมการคูณกัน จะได้ $t^3 = (t+2)(t+3)(t-4)$

แก้สมการได้ $ t = 7 \pm \sqrt{73} $ (แล้วเลือกค่าบวก)

[ประเวศ]

ขอบคุณมากครับ