โจทย์แยกตัวประกอบพหุนาม ม.3 ค่ะ ช่วยคิดหน่อยค่ะ

[nut155]

ช่วยแสดงวิธีแยกตัวประกอบข้อนี้ให้หน่อยค่ะ
$x^6+3x^4y^2+3x^2y^4+y^6$

นอกจากนี้อยากทราบว่า เราจะรู้ได้อย่างไร ว่าตัวประกอบที่กำลังแยกอยู่แยกเสร็จแล้ว เพราะบางทีตัวที่แยกได้ก็ยังดูยาว ๆ เหมือนยังแยกได้อีก
ใครทราบช่วยอธิบายด้วยค่ะ

[issac]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nut155

ช่วยแสดงวิธีแยกตัวประกอบข้อนี้ให้หน่อยค่ะ
$x^6+3x^4y^2+3x^2y^4+y^6$

นอกจากนี้อยากทราบว่า เราจะรู้ได้อย่างไร ว่าตัวประกอบที่กำลังแยกอยู่แยกเสร็จแล้ว เพราะบางทีตัวที่แยกได้ก็ยังดูยาว ๆ เหมือนยังแยกได้อีก
ใครทราบช่วยอธิบายด้วยค่ะ

ใช้สูตรกำลังสามสมบูรณ์ตรงๆ เลยครับ
จาก $(น+ล)^3$ = $น^3+3น^2ล+3นล^2+ล^3$
ดังนั้น $(x^2+y^2)^3$ = $x^6+3x^4y^2+3x^2y^4+y^6$

ส่วนตัวประกอบจะรู้ได้ยังไงว่าแยกเสร็จแล้ว?
ตามแนวคิด ผมว่ามันก็คือ การพยายามลดดีกรีของสมการพหุนามไปเรื่อยๆ จนเหลือแต่พจน์ที่มีดีกรี 2
แล้วลองใช้วิธีแยกตัวประกอบหรือใช้สูตรตามที่เรียนมาแยกตัวประกอบพจน์ดีกรี 2 อีกทีนึง ถ้าแยกแล้วได้ผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มก็แยกต่อไปเป็นพจน์ดีกรี 1 แต่ถ้าได้ผลเฉลยที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ก็หยุดการแยกตัวประกอบ แล้วตอบในรูปดีกรี 2 ไปเลยครับ
EX

$x^4+x^3-8x-8$ = $(x+1)(x-2)(x^2+2x+4)$ ใช้วิธีหารสังเคราะห์แยกตัวประกอบ (เรียนใน ม.ปลาย)
จะสังเกตว่า พจน์ $(x^2+2x+4)$ ไม่สามารถแยกตัวประกอบออกมาในรูปผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มได้ ดังนั้นเราก็สามารถตอบตามด้านบน ได้เลยครับ

[nut155]

ขอบคุณค่ะ สำหรับคำตอบ