พิสูจน์สูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยม

[tngngoapm]

อยากได้แนวคิดวิธีพิสูจน์สูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยมที่ว่า.............

$\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}$

เมื่อ $S=\frac{(a+b+c)}{2}$ และ a,b,c เป็นด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมใดๆหน่อยครับ........ขอบคุณครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

อยากได้แนวคิดวิธีพิสูจน์สูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยมที่ว่า.............

.$\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}$.

เมื่อ $S=\frac{(a+b+c)}{2}$ และ a,b,c เป็นด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมใดๆหน่อยครับ........ขอบคุณครับ

คิดได้หลายวิธีเลยครับ แต่ถ้าแบบพื้นฐานที่สุดคือใช้ไม่เกิน ม.ต้น คือพีทาโกรัส

พื้นที่ = $\frac{1}{2} \times c \times h$ เมื่อ $c$ เป็นด้านตรงข้ามมุม $C$

โดยจากจุด $C$ ลากส่วนสูงมาตั้งฉากกับ AB มีความยาวเป็น $h$

สมมติให้ฐาน $AB$ ถูกแบ่งเป็น 2 ส่วนคือ $x$ กับ $c - x$

โดยพีทาโกรัสเราได้ว่า $h^2 = a^2 - x^2 = b^2 - (c-x)^2$ จะหา $h$ ในรูปของ $a, b, c$ ออกมาได้

ที่เหลือก็ใกล้จะจะจบแล้วครับ คือใช้สูตรผลต่างกำลังสองลุยต่ออีกนิดหน่อย

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

คิดได้หลายวิธีเลยครับ แต่ถ้าแบบพื้นฐานที่สุดคือใช้ไม่เกิน ม.ต้น คือพีทาโกรัส

พื้นที่ = $\frac{1}{2} \times c \times h$ เมื่อ $c$ เป็นด้านตรงข้ามมุม $C$

โดยจากจุด $C$ ลากส่วนสูงมาตั้งฉากกับ AB มีความยาวเป็น $h$

สมมติให้ฐาน $AB$ ถูกแบ่งเป็น 2 ส่วนคือ $x$ กับ $c - x$

โดยพีทาโกรัสเราได้ว่า $h^2 = a^2 - x^2 = b^2 - (c-x)^2$ จะหา $h$ ในรูปของ $a, b, c$ ออกมาได้

ที่เหลือก็ใกล้จะจะจบแล้วครับ คือใช้สูตรผลต่างกำลังสองลุยต่ออีกนิดหน่อย

ผมใช้ความรู้ม.ปลายคือกฎของ sine ดังนี้ครับ
$\frac{b}{sin\theta}=\frac{c}{sin\alpha}$
$\frac{b}{2sin\frac{\theta}{2}cos\frac{\theta}{2}}=\frac{c}{2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}$
$\frac{b}{sin\frac{\theta}{2}cos\frac{\theta}{2}}=\frac{c}{sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}$
$\frac{b}{\frac{r}{\sqrt{r^2+y^2}}\frac{y}{\sqrt{r^2+y^2}}}=\frac{c}{\frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}}\frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}}}$
$\frac{(r^2+y^2)b}{ry}=\frac{c(r^2+z^2)}{rz}$
$\frac{r^2b+y^2b}{y}=\frac{r^2c+z^2c}{z}$
$r^2\frac{b}{y}+yb=r^2\frac{c}{z}+zc$
$r^2(\frac{b}{y}-\frac{c}{z})=zc-yb$
$r^2=\frac{(zc-yb)(yz)}{zb-cy}$
$r^2=\frac{[\frac{(a+b-c)}{2}c-\frac{(a+c-b)}{2}b]yz}{[\frac{(a+b-c)}{2}b-\frac{(a+c-b)}{2}c]}$
$r^2=\frac{\frac{1}{2}[ac-ab-^2+b^2]}{\frac{1}{2}[ab-ac+b^2-c^2]}yz$
$r^2=\frac{[b^2-c^2-(ab-ac)]}{[b^2-c^2+(ab-ac)]}yz$
$r^2=\frac{[(b-c)(b+c)-a(b-c)]}{[(b-c)(b+c)+a(b-c)]}yz$
$r^2=\frac{(b-c)(b+c-a)}{(b-c)(b+c+a)}yz$
$r^2=\frac{(\frac{b+c-a}{2})}{(\frac{b+c+a}{2})}yz$
$r^2=\frac{xyz}{S}$...........$[S=\frac{a+b+c}{2}]$
$r=\sqrt{\frac{xyz}{S}}$
จาก พื้นที่สามเหลี่ยม(A).......$A=rS$
$A=\sqrt{\frac{xyz}{S}}S$
$A=\sqrt{Sxyz}$
$A=\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}$.........$[x=(S-a),y=(S-b),z=(S-c)]$