สนุกกับอสมการ

[Lekkoksung]

ช่วยอนุเคราะห์ผมทีครับ
Show that for arbitrary $a.b.c \in \mathbb{R^{+}}$,
$$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}} \geq \frac{a+b+c}{3}$$

ขอบคุณมากครับ

[RoSe-JoKer]

from
$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2a-b}{3}$
the rest is easy ;-)

[Anonymous314]

โห คุณ Rose ยังเข้ามาเล่นในแมทเซนเตอร์ด้วย

[Lekkoksung]

เวลาเราทำทำอย่างนี้หรอคับ
โดยไม่เสียนัยทั่วไปกำหนดให้ $a \geq b \geq c$ แล้วเราก็อ้าง
$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2a-b}{3}$, $\frac{a^3}{b^2+bc+c^2}\geq \frac{2b-c}{3}$, $\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{2c-a}{3}$
แล้วจับมาบวกกันหรือเปล่าครับ

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Lekkoksung

เวลาเราทำทำอย่างนี้หรอคับ
โดยไม่เสียนัยทั่วไปกำหนดให้ $a \geq b \geq c$ แล้วเราก็อ้าง
$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2a-b}{3}$, $\frac{a^3}{b^2+bc+c^2}\geq \frac{2b-c}{3}$, $\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{2c-a}{3}$
แล้วจับมาบวกกันหรือเปล่าครับ

ไม่ต้องสมมติว่า $a\geq b\geq c$ ก็ได้นี่ครับ
วิธีเขียนก็แล้วแต่สไตล์คนเขียนครับ ก็อาจจะเขียนแบบนี้

จาก AM-GM ได้ว่า $a^3+b^3\geq a^2b+ab^2$_____(*)
$3a^3\geq 2a^3-a^2b+2a^2b-ab^2+2ab^2-b^3$
$3a^3\geq (2a-b)(a^2+ab+b^2)$
$\displaystyle\therefore\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq\frac{2a-b}{3}$
ในทำนองเดียวกัน ได้ว่า $\displaystyle\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\geq \frac{2b-c}{3}$, $\displaystyle\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{2c-a}{3}$
ดังนั้น $\displaystyle\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq\frac{a+b+c}{3}$

หรือว่าจะเขียนแบบนี้

โจทย์สมมูลกับ $\displaystyle\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq\frac{a+b+c}{3}=\sum_{cyc}\frac{2a-b}{3}$
ดังนั้น เป็นการเพียงพอที่จะแสดงว่า $\displaystyle\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq\frac{2a-b}{3}$
จาก $\displaystyle\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq\frac{2a-b}{3}$
$\Leftrightarrow 3a^3\geq 2a^3-a^2b+2a^2b-ab^2+2ab^2-b^3$
$\Leftrightarrow a^3+b^3\geq a^2b+ab^2$ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นจริงจาก AM-GM_____(*)

ป.ล. แต่ถ้าจะให้รัดกุมกว่านี้ ก็อาจจะเขียนพิสูจน์ว่าทำไมตรง (*) มันถึงเป็นจริงก็ได้ครับ

[Lekkoksung]

ขอบคุณผู้ช่วยอนุเคราะห์ผมทุกคนมากๆครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Lekkoksung

ช่วยอนุเคราะห์ผมทีครับ
Show that for arbitrary $a.b.c \in \mathbb{R^{+}}$,
$$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}} \geq \frac{a+b+c}{3}$$

Alternative Solution:

ก่อนอื่นสังเกตว่า

$\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\geq\dfrac{1}{3}$

ซึ่งอสมการสมมูลกับ $(a-b)^2\geq 0$

และสังเกตว่า

$\dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3-a^3}{c^2+ca+a^2}=(a-b)+(b-c)+(c-a)=0$

ดังนั้น

$\dfrac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\dfrac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\dfrac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}=\dfrac{b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\dfrac{ c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\dfrac{a^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}$

จึงได้

$\dfrac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\dfrac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\dfrac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{a^{3}+b^3}{a^ {2}+ab+b^{2}}+\dfrac{b^{3}+c^3}{b^{2}+bc+c^{2}}+\dfrac{c^{3}+a^3}{c^{2}+ca+a^{2}}\Big)$

$~~~~~=\dfrac{1}{2}\Big[(a+b)\Big(\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\Big)+(b+c)\Big(\dfrac{b^2-bc+c^2}{b^2+bc+c^2}\Big)+(c+a)\Big(\dfrac{c^2-ca+a^2}{c^2+ca+a^2}\Big)\Big]$

$~~~~~\geq\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{a+b}{3}+\dfrac{b+c}{3}+\dfrac{c+a}{3}\Big)$

$~~~~~=\dfrac{a+b+c}{3}$

[Lekkoksung]

ขอบคุณพี่หนุ่ยอีกคนน่ะครับ

[แบบใหม่]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

Alternative Solution:

ก่อนอื่นสังเกตว่า

$\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\geq\dfrac{1}{3}$

ซึ่งอสมการสมมูลกับ $(a-b)^2\geq 0$

และสังเกตว่า

$\dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3-a^3}{c^2+ca+a^2}=(a-b)+(b-c)+(c-a)=0$

ดังนั้น

$\dfrac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\dfrac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\dfrac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}=\dfrac{b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\dfrac{ c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\dfrac{a^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}$

จึงได้

$\dfrac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\dfrac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\dfrac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{a^{3}+b^3}{a^ {2}+ab+b^{2}}+\dfrac{b^{3}+c^3}{b^{2}+bc+c^{2}}+\dfrac{c^{3}+a^3}{c^{2}+ca+a^{2}}\Big)$

$~~~~~=\dfrac{1}{2}\Big[(a+b)\Big(\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\Big)+(b+c)\Big(\dfrac{b^2-bc+c^2}{b^2+bc+c^2}\Big)+(c+a)\Big(\dfrac{c^2-ca+a^2}{c^2+ca+a^2}\Big)\Big]$

$~~~~~\geq\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{a+b}{3}+\dfrac{b+c}{3}+\dfrac{c+a}{3}\Big)$

$~~~~~=\dfrac{a+b+c}{3}$

ผมชอบอันนี้กว่าแยะเลยครับ

[S!xTo12Y]

จากโจทย์ โดยอสมการโคชีได้ว่า $L.H.S = \sum_{cyc}\frac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2} =\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$
ซึ่งโดยอสมการ Power mean ได้ว่า $\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c} \geqslant \frac{a+b+c}{3}$ ตามต้องการ

[nooonuii]

เพิ่งเจออสมการที่ sharp กว่าครับ สำหรับวิธีคิดก็คงรู้กันแล้วล่ะ

$a,b,c>0$
$$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}} \geq \frac{2}{3}\Big(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\Big) \geq \frac{a+b+c}{3}$$