Help!!!

[~ArT_Ty~]

2 ตัวท้ายของ $9^{9^9}$ คืออะไร

[Wings_Evolution]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

2 ตัวท้ายของ $9^{9^9}$ คืออะไร

จะหาเลขสองหลักสุดท้ายของ $9^{9^9}$
เพราะว่า $9^3 \equiv 29 \pmod{100}$
$9^9 \equiv 29^3 \equiv 89 \pmod{100} $
$$\therefore 9^{9^9} \equiv 89^9 \pmod{100}$$
จะหาสองหลักสุดท้าย เราจึงคิดเฉพาะ$ 9^9$ เท่านั้น
$$9^9 \equiv 29^3 \equiv 89 \pmod{100} $$

[nooonuii]

พิสูจน์ก่อนว่า

$9^{20}\equiv 1\pmod{100}$

$9^9\equiv 89\pmod{100}$

ดังนั้น $9^9=89+100k$ สำหรับบาง $k$

จึงได้

$9^{9^9}\equiv 9^{89+100k}\equiv 9^{9+20(4+5k)}\equiv 9^9\equiv 89\pmod{100}$

[กิตติ]

ลองใช้Euler's theorem ก่อนก็น่าจะได้
$\phi (100)=\phi (5^22^2)=(5-1)(5^{2-1})(2-1)(2^{2-1})=40$
$9^{40} \equiv 1 \pmod{100} $
$\phi (40)=\phi (2^35)=(2-1)(2^{3-1})(5-1)(5^{1-1})=8$
$9^8 \equiv 1 \pmod{40} $
$9^{9^9}=9^9 \equiv 89 \pmod{100}$

$9^3 \equiv 29 \pmod{100}$
$9^6 \equiv 41 \pmod{100}$
$9^9 \equiv 89 \pmod{100}$

วิธีที่ผมเคยทำตอนยังไม่รู้จักEuler's theorem

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อนี้เอาเรื่องเพราะทำให้ต้องคิดสองต่อ
จาก$9^{9^9}=9^{\overbrace{9.9...9}^{9 ตัว} }$
รอบแรกหาก่อนว่า$n$ที่ทำให้$9^n \equiv 1 \pmod{100} $จะได้ว่า$9^{10} \equiv 1 \pmod{100} $.....ไล่หาไปเรื่อยๆทีละตัวเอาจนถึงตัวที่10
รอบต่อมาเอา$n$ที่ได้ไปหาตัวลงท้ายของ$\overbrace{9.9...9}^{9 ตัว} $ เพื่อหาวนรอบลงท้าย จะได้ว่า$9^2 \equiv 1 \pmod{10} $
จะได้ว่า$9^9 \equiv 9 \pmod{10} $......เศษคือ$9$
เอาเศษที่ได้ไปแทนใน$9^{9^9}$ เพื่อหาสองตัวท้าย....คือ $9^{9^9} \equiv 9^9 \pmod{100}$
$9^9 \equiv 89 \pmod{100} $
ดังนั้นสองตัวท้ายของ$9^{9^9}$ คือ $89$

[BLACK-Dragon]

จงพิสูจน์ว่า $1^{2n−1}+2^{2n−1}+3^{2n−1}+4^{2n−1}$ หารด้วย 5 ลงตัวสำหรับทุกจำนวนนับ n
------>จากคุณ noonuii ครับขอบคุณมากๆครับ ช่วยดูให้หน่อยว่าผิดตรงไหนครับ

$2n$ เป็นจำนวนคู่สำหรับทุกๆจำนวนนับ n ดังนั้น $2n-1$ เป็นจำนวนคี่
$1\equiv 1 \pmod{5}$
$1^{2n-1} \equiv 1 \pmod{5}$--------------1
$4 \equiv -1 \pmod{5}$
$4^{2n-1} \equiv -1 \pmod{5}$ ------------------2
$2 \equiv 2 \pmod{5}$
$2^{2n-1} \equiv 2^{2n-1} \pmod{5}$ ---------------3
$3 \equiv -2 \pmod{5}$
$3^{2n-1} \equiv -2^{2n-1} \pmod{5}$ ---------------4
นำ 1+2+3+4 ได้

$ 1^{2n−1}+2^{2n−1}+3^{2n−1}+4^{2n−1}\equiv 0 \pmod{5}$
ถูกไหมครับ

[BLACK-Dragon]

มีอีกครับ

1.จงพิสูจน์ว่า $5^n \equiv 4n+1 \pmod{16}$ สำหรับทุกจำนวนนับ n
2.จงพิสูจน์ว่า $121$ หาร $n^2+3n+5$ ไม่ลงตัวสำหรับทุกจำนวนนับ n

ปล. ของคุณ noonuii อีกเช่นเคยขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

$5 ถูกแล้วครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อ 1. ถ้าพิสูจน์ได้ว่า $5^n-4n-1$ หารด้วย 16 ลงตัว ก็ได้แล้วครับ

ข้อ 2 ดูเหมือนจะทำตรงๆไม่ได้ รบกวนผู้รู้ช่วยอธิบายหน่อยครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ข้อ 1. ถ้าพิสูจน์ได้ว่า $5^n-4n-1$ หารด้วย 16 ลงตัว ก็ได้แล้วครับ

ข้อ 2 ดูเหมือนจะทำตรงๆไม่ได้ รบกวนผู้รู้ช่วยอธิบายหน่อยครับ

ข้อ 1 อ่ะครับผมจะพิสูจน์ไง ยังกำจัดกรณีที่ผมคิดออกมาไม่ได้เลย
ข้อ 2 ถ้าพี่ ~ArT_Ty~ ไม่ได้ผมก็คงไม่ได้แหละครับ
ขอ Hint หน่อยครับ -------------ยากมากๆ

[~ArT_Ty~]

ข้อ 1 Induction ก็ได้แล้วครับ

ข้อ 2 ตามเดิม น่าจะใช้หลักการทางตรรกศาสตร์ ซึ่งผมก็ทำไม่ได้ =="

[Suwiwat B]

มันดูจะแปลกๆ นิดนึงนะครับ
คือผมจะพิสูจน์ว่า ถ้า $11$ หาร $n^2 + 3n + 5$ ลงตัว แล้ว $121$ หาร $n^2 + 3n + 5$ ไม่ลงตัว
เพราะว่าถ้า $11$ หาร หาร $n^2 + 3n + 5$ ไม่ลงตัว เเล้ว $121$ ก็หาร $n^2 + 3n + 5$ ไม่ลงตัวไปด้วย

จาก $11n \equiv 11 (mod11)$
$n^2 + 3n + 5 \equiv n^2 - 8n + 16 \equiv (n-4)^2 (mod 11)$
นั่นคือ $11$ หาร $n^2 + 3n + 5 $ลงตัว ก็ต่อเมื่อ $n = 11k + 4, k \in Z$
(หรือจะลอง partition จำนวนเต็มออกเป็น 11 ส่วนก็ได้)
แทนลงไป .... จะทำให้
$n^2 + 3n + 5 = 121k(k+1) + 33 $
ทำให้ $121$ หาร $n^2 + 3n + 5 $ไม่ลงตัว

ช่วย check ด้วยนะครับ

[Wings_Evolution]

ถามเพิ่มหน่อยค่ะ
จงหาจำนวนวิธีจัดเรียงอักษร $a,e,i,o,u,x,x,x,x,x,x,x,x$ โดยที่สระไม่ติดกัน
ควรจะตอบ $$\binom{9}{5} , P^9_5$$ ดีค่ะ

[{([Son'car])}]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Wings_Evolution

ถามเพิ่มหน่อยค่ะ
จงหาจำนวนวิธีจัดเรียงอักษร $a,e,i,o,u,x,x,x,x,x,x,x,x$ โดยที่สระไม่ติดกัน
ควรจะตอบ $$\binom{9}{5} , P^9_5$$ ดีค่ะ

น่าจะเป็น$ P^9_5$ครับ

มีช่องว่างระหว่าง$a,e,i,o,u\;\;6$ช่อง$\;\;\;\;\;\underline{.}a\underline{.}e\underline{.}i\underline{.}o\underline{.}u\underline {.}$
แต่สระไม่ติดกันดังนั้นเอา$x\;\;4$ตัวไปใส่ตรงกลางก่อน$\underline{.}a\;\underline{x} \;e\;\underline{x}\; i\;\underline{x}\; o\;\underline{x}\; u\;\underline{.}$เหลือ$x$อีก$4$ตัวเลือกใส่ช่อง$6$ช่องได้$\binom{4+6-1}{4} $วิธี
แล้ว$a,e,i,o,u$สามารถสลับกันได้อีก$5!$วิธีจะได้จำนวนวิธีทั้งหมด$=5!\binom{4+6-1}{4}=P^9_5$ วิธี

[Wings_Evolution]

ต้องการเขียนเครื่องหมาย $\alpha $ และ $\beta $ ลงในตารางขนาด $3*3$ โดยให้มีเครื่องหมายเ้ต็มทุกช่องและจะต้องมีเครื่องหมายอย่างน้อยอย่างละ 1 เครื่องหมาย จำนวนวิธีเขียนทั้งหมดเท่าใด

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Wings_Evolution

ถามเพิ่มหน่อยค่ะ
จงหาจำนวนวิธีจัดเรียงอักษร $a,e,i,o,u,x,x,x,x,x,x,x,x$ โดยที่สระไม่ติดกัน
ควรจะตอบ $$\binom{9}{5} , P^9_5$$ ดีค่ะ

ขั้นตอนที่ 1 นำ $\quad x\quad x\quad x\quad x\quad x\quad x \quad x \quad x\quad $ มาวางก่อน มีวิธีเลือกทำได้ 1 วิธี

ขั้นตอนที่ 2 นำ $a, e, i, o, u$ มาแทรกในช่องว่างที่มีอยู่ 9 ช่อง แต่เลือกใช้เพียง 5 ช่อง เพื่อที่จะใส่ $a, e, i, o, u$ ลงไปช่องละ 1 ตัว จะมีวิธีเรียงสับเปลี่ยนได้ $P_{9,5}$วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนอักษรทั้งหมด จะทำได้ $1\times P_{9,5} = P_{9,5}$ วิธี