ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ

[akomch]

Let a,b,c and d be positive integers such that $ab^2+ad^2+cb^2=ba^2+bd^2+ca^2$
and$a^2+b^2+c^2+d^2$ is prime. Prove that $a=b$

[Aquila]

ย้ายสมการโจทย์มาลบกันแล้วจัดรูป

จะได้ $(a-b)(d^2-ab-bc-ca)=0$ สำหรับ positive $a,b,c,d$

โจทย์ให้พิสูจน์ว่า $a=b$ เราก็พิสูจน์ว่าเป็นไปไม่ได้ที่ $d^2=ab+bc+ca$

สมมติว่า $d^2=ab+bc+ca$ จัดเป็น $(a+b+c)^2=(d^2+a^2+b^2+c^2)+d^2$

แล้วใช้ประโยชน์จาก $a^2+b^2+c^2+d^2$ เป็นจำนวนเฉพาะมาสรุป

มองเป็น $(a+b+c)^2-d^2=a^2+b^2+c^2+d^2$

ข้างขวาเป็นจำนวนเฉพาะ ซ้ายต้องเป็นเหมือนกัน

น่าจะทำต่อเองจนจบได้แล้วล่ะครับ

[akomch]

ขอขอบคุณ คุณกระบี่ไวมากครับ ท่ีช่วยชี้แนะ

[akomch]

ไม่รู้จะต่อยัังไงครับ ช่วยเฉลยแบบเต็มๆได้ไหมครับ ไม่ค่อยถนัดเรื่องการพิสูจน์ ขอบคุณครับ

[Aquila]

จริงๆ ทำอีกแค่นิดเดียวก็ได้แล้วครับ

แต่ถ้า request มาก็ ok ครับ

idea คือเราจะหักกรณีที่ $d^2=ab+bc+ca$ ทิ้งไป

เราจะสมมติในทางตรงข้าม แล้วทำ contradiction (หาข้อขัดแย้งนั่นเอง)

ก็คือสมมติให้ $d^2=ab+bc+ca$ เป็นจริง

จัดรูปโดยคูณ 2 แล้วบวกด้วย $a^2+b^2+c^2$ เข้าไป

จะได้เป็น $(a^2+b^2+c^2+d^2)+d^2=(a+b+c)^2$

แยกเป็น $a^2+b^2+c^2+d^2=(a+b+c-d)(a+b+c+d)$

แต่เรารู้ว่า $a^2+b^2+c^2+d^2$ เป็นจำนวนเฉพาะ

ดังนั้น $(a+b+c-d)(a+b+c+d)$ ต้องเป็นจำนวนเฉพาะด้วย

แต่จาก $a+b+c+d$ มันมากกว่า $a+b+c-d$ อยู่แล้ว

เพราะฉะนั้น $a+b+c+d$ ต้องเป็นจำนวนเฉพาะ และ $a+b+c-d$ ต้องเป็น 1

หมายความว่า $a+b+c=d+1$ แทนกลับได้เป็น $a^2+b^2+c^2+d^2=2d+1$

จัดรูปได้ $a^2+b^2+c^2+(d-1)^2=2$

ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะว่าจาก $a,b,c,d$ เป็นจำนวนเต็มบวก

ทำให้ค่าของ $a^2+b^2+c^2+(d-1)^2 \geq 3$ จบแล้วครับ