ทฤษฎีจำนวน เรื่อง จำนวนเฉพาะ

[pont494]

ช่วยกันแสดงวิธีคิดหน่อยครับ ขอบคุณครับ

1.ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 2 จงแสดงว่า ถ้า $2^n-1$ หรือ $2^n+1$ ตัวใดตัวหนึ่งเป็น
จำนวนเฉพาะแล้วอีกจำนวนหนึ่งจะเป็นจำนวนประกอบ

2.ถ้าจำนวนเต็มบวก n มากกว่า 1 ซึ่งไม่เขียนอยู่ในรูป 6k+3 จงแสดงว่า $n^2+2^n$ เป็นจำนวนประกอบ

3.ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จงแสดงว่า n! ไม่สามารถเขียนได้ในรูปกำลังสองสมบูรณ์

4.จงหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่ทำให้ $n!+(n+1)!+(n+2)!$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

5.จงหาจำนวนเต็มบวก n ทั้งหมดที่ทำให้ $n^4+4^n$ เป็นจำนวนเฉพาะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pont494

ช่วยกันแสดงวิธีคิดหน่อยครับ ขอบคุณครับ

1.ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 2 จงแสดงว่า ถ้า $2^n-1$ หรือ $2^n+1$ ตัวใดตัวหนึ่งเป็น
จำนวนเฉพาะแล้วอีกจำนวนหนึ่งจะเป็นจำนวนประกอบ

พิสูจน์ว่า $3\mid (2^n-1)(2^n+1)$

ดังนั้น $3$ ต้องหารตัวใดตัวหนึ่งลงตัว

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

พิสูจน์ว่า $3\mid (2^n-1)(2^n+1)$

ดังนั้น $3$ ต้องหารตัวใดตัวหนึ่งลงตัว

ผมยังสงสัยอ่ะครับว่า 3หารจำนวนหนึ่งลงตัว แล้วจะบอกได้หรือครับว่าอีกจำนวนหนึ่งจะเป็นจำนวนเฉพาะ

มีข้อขัดแย้ง เมื่อ n=6 จะได้ว่า $2^6-1=63\,และ\,2^6+1=65$

$3\mid 63\,แต่ทั้ง\,63\,และ\,65\,เป็นจำนวนประกอบทั้งคู่$

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ผมยังสงสัยอ่ะครับว่า 3หารจำนวนหนึ่งลงตัว แล้วจะบอกได้หรือครับว่าอีกจำนวนหนึ่งจะเป็นจำนวนเฉพาะ

มีข้อขัดแย้ง เมื่อ n=6 จะได้ว่า $2^6-1=63\,และ\,2^6+1=65$

$3\mid 63\,แต่ทั้ง\,63\,และ\,65\,เป็นจำนวนประกอบทั้งคู่$

โจทย์ไม่ได้ต้องการแบบนั้นนี่ครับ แบบนั้นสรุปไม่ได้อยู่แล้ว

แต่โจทย์ใช้คำว่า ถ้า...แล้ว คือหมายถึงว่าถ้าเรามั่นใจว่ามีตัวนึงเป็นจำนวนเฉพาะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ผมยังสงสัยอ่ะครับว่า 3หารจำนวนหนึ่งลงตัว แล้วจะบอกได้หรือครับว่าอีกจำนวนหนึ่งจะเป็นจำนวนเฉพาะ

มีข้อขัดแย้ง เมื่อ n=6 จะได้ว่า $2^6-1=63\,และ\,2^6+1=65$

$3\mid 63\,แต่ทั้ง\,63\,และ\,65\,เป็นจำนวนประกอบทั้งคู่$

ขอขยายความอีกนิดนะ

ก่อนอื่นสังเกตว่าทั้ง $2^n-1$ และ $2^n+1$ มากกว่า $3$

ถ้ามีตัวหนึ่งเป็นจำนวนเฉพาะไปแล้วจำนวนเฉพาะตัวนั้นต้องไม่ใช่ $3$ ซึ่งจะบังคับว่า

$3$ ต้องหารอีกตัวที่เหลือลงตัว เนื่องจากจำนวนนั้นมากกว่า $3$ จึงเป็นจำนวนประกอบไปโดยปริยาย

[pont494]

ขอบคุณมากครับสำหรับข้อ 1 เข้าใจแล้วครับ
ขอวิธีทำข้ออื่นด้วยครับ ไม่รู้ยว่าจะทำไงครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pont494

2.ถ้าจำนวนเต็มบวก n มากกว่า 1 ซึ่งไม่เขียนอยู่ในรูป 6k+3 จงแสดงว่า $n^2+2^n$ เป็นจำนวนประกอบ

ทำโจทย์ทฤษฎีจำนวนถ้าไม่มีแยกกรณีจะถือว่าโชคดีมากๆ แต่ส่วนใหญ่ไม่เป็นเช่นนั้นหรอกครับ

ถ้า $n$ เป็นจำนวนคู่ เห็นได้ชัด

สมมติ $n$ เป็นจำนวนคี่ จะได้ว่า $n=6k\pm 1$ บางค่า $k$

ลองพิสูจน์ว่า $n^2+2^n$ หารด้วย $3$ ลงตัวครับ

เอ...เราได้ใช้เงื่อนไข $n\neq 6k+3$ ตรงไหนนะ

และถ้า $n=6k+3$ ข้อความนี้จะยังเป็นจริงมั้ยนะ

[pont494]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ทำโจทย์ทฤษฎีจำนวนถ้าไม่มีแยกกรณีจะถือว่าโชคดีมากๆ แต่ส่วนใหญ่ไม่เป็นเช่นนั้นหรอกครับ

ถ้า $n$ เป็นจำนวนคู่ เห็นได้ชัด

สมมติ $n$ เป็นจำนวนคี่ จะได้ว่า $n=6k\pm 1$ บางค่า $k$

ลองพิสูจน์ว่า $n^2+2^n$ หารด้วย $3$ ลงตัวครับ

เอ...เราได้ใช้เงื่อนไข $n\neq 6k+3$ ตรงไหนนะ

และถ้า $n=6k+3$ ข้อความนี้จะยังเป็นจริงมั้ยนะ

ขอบคุณครับผมลองทำดูได้แล้วครับ

[artty60]

จริงด้วยครับ ขอบคุณคุณ nooonuii ที่ช่วยอธิบายเพิ่มเติมครับ

[pont494]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pont494

4.จงหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่ทำให้ $n!+(n+1)!+(n+2)!$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

$n!+(n+1)!+(n+2)!=n![1+(n+1)+(n+1)(n+2)]$
$=n!(n+2)^2$

แสดงว่า $n!$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์
ซึ่งจากข้อ 3. (ที่ยังไม่ได้พิสูจน์ แต่น่าจะเป็นจริง)
แสดงว่า n=1

ทำอย่างนี้ถูกไหมครับ ช่วยพิสูจน์ข้อ 3. และข้อ 5. ด้วยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pont494

3.ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จงแสดงว่า n! ไม่สามารถเขียนได้ในรูปกำลังสองสมบูรณ์

ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $n$

ถ้า $2p\leq n$ จะมีจำนวนเฉพาะ $q$ ซึ่ง $p<q<2p\leq n$ โดยทฤษฎีบทของเชบิเชฟ

ซึ่งจะขัดแย้งกับสมบัติค่ามากสุดของ $p$ ดังนั้น $n < 2p$ จึงได้ว่าใน $n!$ จะมี $p$ เป็นตัวประกอบ

เพียงตัวเดียวเท่านั้น ซึ่งทำให้ $n!$ ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

[pont494]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $n$

ถ้า $2p\leq n$ จะมีจำนวนเฉพาะ $q$ ซึ่ง $p<q<2p\leq n$ โดยทฤษฎีบทของเชบิเชฟ

ซึ่งจะขัดแย้งกับสมบัติค่ามากสุดของ $p$ ดังนั้น $n < 2p$ จึงได้ว่าใน $n!$ จะมี $p$ เป็นตัวประกอบ

เพียงตัวเดียวเท่านั้น ซึ่งทำให้ $n!$ ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ขอบคุณมากครับ เข้าใจแล้วครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pont494

5.จงหาจำนวนเต็มบวก n ทั้งหมดที่ทำให้ $n^4+4^n$ เป็นจำนวนเฉพาะ

$n=1$ ได้จำนวนเฉพาะ

$n$ เป็นจำนวนคู่ได้จำนวนประกอบ

สมมติ $n=2k+1$ จะได้

$n^4+4^n=n^4+4\cdot 4^{2k}$

ลองแยกตัวประกอบตัวข้างบนดูครับ

[pont494]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$n=1$ ได้จำนวนเฉพาะ

$n$ เป็นจำนวนคู่ได้จำนวนประกอบ

สมมติ $n=2k+1$ จะได้

$n^4+4^n=n^4+4\cdot 4^{2k}$

ลองแยกตัวประกอบตัวข้างบนดูครับ

ผมแยกตัวประกอบข้างบนยังไม่ได้อ่ะครับ
ช่วยอธิบายหน่อยครับ ว่าแยกต่ออย่างไร

[จูกัดเหลียง]

ให้ $2^k=a$ จะได้ว่า $$n^4+4\cdot 4^{2k}=n^4+4a^4=n^4+4n^2a^2+4a^4-4a^2n^2=(n^2+2a^2)^2-(2an)^2$$ ประมานนี้ครับ