ซับซ้อนนิดหน่อย

[เทพเวียนเกิด]

กำหนดสมการ $$\frac{n^3-5n-4+\sqrt{(n^2-1)[n^2(n^2-1)-8(n^2-2)]} }{n^3-5n+4+\sqrt{(n^2-1)[n^2(n^2-1)-8(n^2-2)}]} = \frac{1}{\sqrt{2} }$$ เเล้วจำนวนจริง n ที่สอดคล้องกับสมการนี้มีค่่าเท่าใด

[Euler-Fermat]

ให้ $A = n^3-5n+\sqrt{(n^2-1)[n^2(n^2-1)-8(n^2-2)]}$
จะได้$ \frac{n^3-5n-4+\sqrt{(n^2-1)[n^2(n^2-1)-8(n^2-2)]}}{n^3-5n+4+\sqrt{(n^2-1)[n^2(n^2-1)-8(n^2-2)]}} = \frac{A-4}{A+4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$A = 4(\sqrt{2}+1)^2 $
ขอเวลาคิดต่อนะ ครับ ยัง หาวิธีที่ดีกว่า ถึก ยังไม่ได้

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เทพเวียนเกิด

กำหนดสมการ $$\frac{n^3-5n-4+\sqrt{(n^2-1)[n^2(n^2-1)-8(n^2-2)]} }{n^3-5n+4+\sqrt{(n^2-1)[n^2(n^2-1)-8(n^2-2)}]} = \frac{1}{\sqrt{2} }$$ เเล้วจำนวนจริง n ที่สอดคล้องกับสมการนี้มีค่่าเท่าใด

แยกตัวประกอบได้เป็น $\frac{(n+1)(n^2-n-4)+\sqrt{(n^2-1)(n^2-n-4)(n^2+n-4)}}{(n-1)(n^2+n-4)+\sqrt{(n^2-1)(n^2-n-4)(n^2+n-4)}}=\frac{1}{\sqrt{2}} $

ยังคิดต่อไม่ออก เดาได้ว่า $n=3$

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

แยกตัวประกอบได้เป็น $\frac{(n+1)(n^2-n-4)+\sqrt{(n^2-1)(n^2-n-4)(n^2+n-4)}}{(n-1)(n^2+n-4)+\sqrt{(n^2-1)(n^2-n-4)(n^2+n-4)}}=\frac{1}{\sqrt{2}} $

ยังคิดต่อไม่ออก เดาได้ว่า $n=3$

ขออนุญาต ต่อจาก คุณ artty60 นะครับ
ให้ $A = (n+1)(n^2-n-4) , B = (n-1)(n^2+n+4)$
จะได้ $\frac{(n+1)(n^2-n-4)+\sqrt{(n^2-1)(n^2-n-4)(n^2+n-4)}}{(n-1)(n^2+n-4)+\sqrt{(n^2-1)(n^2-n-4)(n^2+n-4)}} = \frac{A+\sqrt{AB}}{B+\sqrt{AB}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $
$\frac{A+\sqrt{AB}}{B+\sqrt{AB}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $
$\sqrt{2}A+\sqrt{2AB} = B+\sqrt{AB}$
$(\sqrt{2A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B}) = 0$
$Case I : \sqrt{A}+\sqrt{B} = 0 $
แสดงว่า $A=B=0 ได้ n = 1,-1 ซึ่งไม่จริง$
$Case II : \sqrt{2A}-\sqrt{B} = 0$
จะได้ $2A = B $
$2[n^3-5n-4] = [n^3-5n+4]$
$n^3-5n-12 = 0 $
$(n-3)(n^2+3n+4) = 0 $
$(n-3)[(n-\frac{3}{2})^2+\frac{7}{4})] = 0$
$\therefore n = 3$