โจทย์ลิมิต + ตรีโกณมิติ ช่วยคิดหน่วย (สิรินธร ม.ปลาย ครั้งที่ 3)

[GTR_Ping]

$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\left(sin\frac{\pi}{n}+sin\frac{2\pi}{n}+...+sin\frac{n\pi}{n}\right)$$

[PP_nine]

ขั้นแรกให้ $\theta = \dfrac{\pi}{n}$ ก่อน แล้ว apply สูตรตรีโกณในลิ้งค์นี่ครับ เอกลักษณ์ตรีโกณที่น่าสนใจ

ได้เป็น
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sin \dfrac{n\theta}{2} \sin \dfrac{(n+1) \theta}{2}}{n \sin \dfrac{\theta}{2}}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n \sin \dfrac{\pi}{2n}}$$

$$=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2/ \pi }{\dfrac{2n}{\pi} \sin \dfrac{\pi}{2n}}=\frac{2}{\pi}$$

[GTR_Ping]

ขอบคุณมากๆครับ